Условное среднее поля в физике: ⟨Ψ⟩iij=⟨Ψ⟩ii⟨Ψ⟩iji=⟨Ψ⟩ii\langle \Psi \rangle_{ij}^i = \langle \Psi \rangle_i^i

Я как раз читал эту статью о квазикристаллическом приближении (QCA) . В аннотации к статье говорится следующее:

Квазикристаллическое приближение (ККА) было впервые введено Лаксом, чтобы разрушить бесконечную иерархию уравнений, которая приводит к изучению когерентного поля в дискретных случайных средах. Он просто утверждает, что условное среднее значение поля с фиксированным положением одного рассеивателя равно условному среднему значению с двумя фиксированными рассеивателями, т. е.$\langle \Psi \rangle_{ij}^i = \langle \Psi \rangle_i^i$.

Может кто-нибудь объяснить математику$\langle \Psi \rangle_{ij}^i = \langle \Psi \rangle_i^i$? В контексте квантовой механики я обычно интерпретирую скобки$\langle$и$\rangle$относиться к нотации скобок (внутренние произведения в гильбертовом пространстве), но кажется, что они используются в этом контексте по-разному (возможно, для какой-то цели условного среднего?). Кроме того, я бы обычно интерпретировал нижние и верхние индексы как относящиеся к тензорным обозначениям (таким как обозначение суммирования Эйнштейна), но мне не ясно, что они означают в данном контексте (интересно, относятся ли нижние индексы к обусловленности по отношению к некоторым значения или что-то подобное?).

Я был бы очень признателен, если бы люди нашли время, чтобы объяснить это.