Коэффициент прохождения конечного двойного потенциального барьера

TL;DR : я хочу рассчитать коэффициент передачи частицы, движущейся в конечную систему двойного потенциального барьера, и я думаю, что застрял из-за того, что у меня есть 9 неизвестных переменных (амплитуд) и только 8 уравнений. Как мне это решить?

Проблема

У меня есть частица (электрон) с энергией Е путешествуя слева в область с двумя потенциальными барьерами. Потенциал определяется

В ( Икс ) "=" В 1 ⋅ [ Θ ( Икс ) − Θ ( Икс − а 1 ) ] + В 2 ⋅ [ Θ ( Икс − ( а 1 + л ) − Θ ( Икс − ( а 1 + а 2 + л ]
Где Θ ( Икс ) – ступенчатая функция Хевисайда, а 1 где останавливается первый барьер (т.е. его длина), л - ширина разделения между двумя барьерами и а 2 - ширина второго барьера.

Известные количества:

  • В 1 , В 2 , Е
  • а 1 , а 2 , л
  • Масса частицы м не дается я предполагаю, что можно сказать, что это масса покоя электрона.

Цель состоит в том, чтобы рассчитать коэффициент передачи Т .

Моя работа

Я решил уравнения для разных сечений и получил следующие решения нестационарного уравнения Шредингера

Ψ 1 "=" А е я κ Икс + Б е − я κ Икс Ψ 2 "=" С е я λ Икс + Д е я λ Икс Ψ 3 "=" Ф е я κ Икс + г е − я κ Икс Ψ 4 "=" ЧАС е мю Икс + я е − мю Икс Ψ 5 "=" Дж е я κ Икс
Где κ "=" 2 м Е час ¯ , λ "=" 2 м ( Е − В 1 ) час ¯ , мю "=" 2 м ( В 2 − Е час ¯ и { А , . . , Дж } - амплитуды различных волн. Я исключил второе решение для Ψ 5 как я предполагаю, нет волны, бегущей справа.

Если я применяю граничные условия к Ψ я и Ψ я ′ в точках Икс "=" { 0 , а 1 , а 1 + л , а 1 + а 2 + л } Я получаю 8 отдельных уравнений, и цель состоит в том, чтобы вычислить Т "=" | Ф | 2 | А | 2 . Поскольку у меня есть 9 неизвестных переменных и 8 отдельных уравнений, я не вижу, как я смогу это решить. Любая помощь приветствуется, и, если возможно, я не хочу прямого ответа, просто некоторые рекомендации. :)

Ответы (2)

Что ж, поскольку состояния рассеяния не поддаются нормализации, волновая функция имеет произвольный общий коэффициент нормализации. Коэффициент отражения р "=" | Б | 2 | А | 2 и коэффициент передачи Т "=" | Дж | 2 | А | 2 зависят только от относительных амплитуд. Другими словами, мы можем, например, положить амплитуду А "=" 1 входящего блога

Я читаю «Введение в квантовую механику» Гриффитса и не видел, чтобы он делал это там (по крайней мере, в главе 2, где вводятся потенциальные ямы/барьеры). Является ли выбор произвольной амплитуды лучшим методом здесь? Я не видел, чтобы это было сделано в газетах по теме, на которую я смотрел. Можно ли это сделать каким-то другим способом?

Чего не хватает, так это нормализации. Трудность здесь в том, что в первых главах книг по КМ часто не проводится различие между задачами на собственные значения и задачами рассеяния.

В задачах на собственные значения система обычно связана в пространстве, состояния локализованы, а нормализация принимает знакомый вид.

∫ − ∞ + ∞ г Икс ψ * ( Икс ) ψ ( Икс ) "=" Н ,
где Н число частиц (часто Н "=" 1 ).

В задачах рассеяния приходится иметь дело с расширенными состояниями, где нормировка по числу частиц, определенная выше, бессмысленна или трудно реализуема. Поэтому прибегают к нормализации по потоку частиц , то есть присваивают определенное значение величине входящего и/или исходящего потока/тока частиц. В вашем случае это будет означать установку

А "=" 1.

Отметим, что задачи рассеяния также имеют разные граничные условия. Например, в одном измерении можно было бы рассматривать решения, падающие слева

ψ ( Икс ) ∼ е я к Икс + р л л е − я к Икс ,  когда  Икс → − ∞ , ψ ( Икс ) ∼ т л р е я к Икс ,  когда  Икс → + ∞ ,
а также решения, падающие справа )
ψ ( Икс ) ∼ т р л е − я к Икс ,  когда  Икс → − ∞ , ψ ( Икс ) ∼ е я к Икс + р р р е я к Икс ,  когда  Икс → + ∞ .
(Можно также определить вместо этого состояния, исходящие вправо/влево .)

Коэффициенты в приведенных выше условиях образуют так называемую матрицу рассеяния

С "=" [ т л р р л л р р р т р л ] .
В то время как в задачах на собственные значения целью является нахождение собственных состояний и собственных энергий, в задачах рассеяния необходимо найти решения рассеяния и указанную выше матрицу рассеяния для заданной энергии падающих частиц.

Теория рассеяния является обязательным предметом учебников по квантовой механике и основой квантовой теории поля. Однако в КМ его изложение обычно откладывается до последующих глав, и обычно оно представляется для рассеяния в центральных потенциалах, а не в одном измерении.

Коэффициент прохождения конечного двойного потенциального барьера
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v