Я читаю книгу Колина Паска « Великолепные принципы» , и в 16.7.2 он утверждает, что сложность проблемы трех тел частично связана с отсутствием в нашем распоряжении дополнительных законов сохранения. В частности, он говорит это в отношении Генриха Брунса:
На самом деле, в 1887 году математик и астроном Эрнст Генрих Брунс доказал, что нет других [кроме сохранения энергии, импульса и углового момента] алгебраических интегралов или законов сохранения, которые могли бы нам помочь.
Прямой ссылки на этот результат Брунса в работе нет. Меня интересует следующее: 1) Каков конкретный результат ссылки на Брунса и где его можно найти? 2) В более общем смысле, какой вклад внес Брунс в наши знания о проблеме трех тел.
Пуанкаре существенно использовал результаты Брунса в своих знаменитых мемуарах Le Probléme des Trois Corps [Проблема трех тел], Revue générale des sciences pures et appliquees 2, 1-5 (1891). Вот краткое изложение Пуанкаре результатов Брунса и его собственных результатов, переведенное Шенсинером в книге «Пуанкаре и проблема трех тел» :
« Дифференциальные уравнения задачи трех тел обладают рядом давно известных интегралов: движения центра масс, интегралов площадей, энергии. Крайне маловероятно, что они могли иметь другие алгебраические интегралов, однако только в последние годы г-н Брунс строго доказал это, но мы можем пойти дальше: кроме известных интегралов, задача трех тел не допускает аналитического и равномерного интеграла, тщательное изучение свойств периодических и асимптотических решений достаточно, чтобы установить это. Можно заключить, что различные предложенные до сих пор разработки расходятся, поскольку их сходимость подразумевала бы существование равномерного интеграла " .
Ченсинер дает всестороннее обсуждение и ссылается на оригинальную статью Брунса, H. Bruns, Über die Integrale des Vielkörper-problems [Об интегралах задач нескольких тел], Acta Mathematica, том 11 (1887 г.). Также актуальна статья Пуанкаре Sur la Méthode de Bruns [О методе Брунса], CRAS 1896, t. 123, 1224-1228.
Любопытно, что, несмотря на все это, существует сходящееся степенное решение задачи трех тел, которое было найдено Сундманом в 1913 году. Саари дает доступный отчет о построении Сундмана в книге « Визит к ньютоновской проблеме N тел через элементарные комплексные переменные». :
"По иронии судьбы, один из его основных выводов убил интерес к направлению исследования, поэтому этот конкретный результат не очень хорошо известен. Должен быть; именно здесь Сандман «решил» задачу трех тел в соответствии с общепринятыми стандартами конца 1800-х и начала 1900-х годов. Действительно, в конце 1800-х годов король Швеции и Норвегии учредил премию для любого, кто сможет найти решение N- проблема с телом. Премия была присуждена Пуанкаре в 1889 году, несмотря на то, что он не решил исходную задачу. (С другой стороны, работа Пуанкаре, удостоенная премии, содержит множество идей, которые до сих пор остаются влиятельными.) Первоначально сформулированная проблема была окончательно решена в 1913 г. Сундманом [16], когда он нашел решение задачи трех тел в виде сходящегося ряда. К сожалению, его ряд сходится так медленно, что, по существу,"
Это редкий пример явно конструктивного решения, столь далекого от практически полезного. Тем не менее в последнее время возобновился интерес к обобщению методов Сундмана на - проблемы с телом .
У меня недостаточно очков репутации, чтобы опубликовать этот вопрос в качестве комментария, что было моим первоначальным намерением, но я могу опубликовать его в качестве ответа.
Учитывая решение Сундмана для сходящихся степенных рядов, что именно означает перевод Пуанкаре Шенсинером под «задачей трех тел, не допускающей аналитического и равномерного интеграла»?