В чем причина антиунитарности оператора симметрии частица-дырка?

Симметрия частица-дырка антилинейна только в одночастичном пространстве. Оно линейно и унитарно при действии на многочастичное фоковское пространство. См. сноску после уравнения 4 в книге С.Рю, А.Шнайдера, А.Фурусаки, А.Людвига, Топологические изоляторы и сверхпроводники: десятикратный путь и иерархия измерений New J. Phys. 12, 065010 (2010). Архив: 0912.2157.

Предположим, что одночастичный гамильтониан обладает тем свойством, что

$$C H^* C^{-1}= -H$$ для некоторой унитарной матрицы$C$. Затем
$$Hu_n=\lambda_n u_n\quad\Rightarrow \quad HCu_n^* = -\lambda_n Cu^*_n,$$ так когда$\lambda$отличен от нуля, одночастичные собственные функции входят в пары с противоположными собственными значениями. В отсутствие состояний с нулевой энергией основное состояние$|0\rangle$имеет все состояния с отрицательной энергией и является невырожденным.

Определим действие унитарного оператора частица-дырка${\mathsf C}$на многочастичном фоковском пространстве

$${\mathsf C}\Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}= \Psi_\alpha^\dagger C_{\alpha\beta}, \quad {\mathsf C}\Psi^\dagger_\beta {\mathsf C}^{-1}= C^\dagger_{\beta\alpha}\Psi_\alpha.$$

Когда
${\mathsf C}$действует на гамильтониан, имеем

$${\mathsf C}\hat H {\mathsf C}^{-1}= {\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha H_{\alpha\beta} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ ={\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha {\mathsf C}^{-1}{\mathsf C}H_{\alpha\beta}{\mathsf C}^{-1}{\mathsf C} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ = {\mathsf C}\Psi^\dagger_\alpha {\mathsf C}^{-1}H_{\alpha\beta}{\mathsf C} \Psi_\beta {\mathsf C}^{-1}\\ = C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho} H_{\alpha\beta} \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta}\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H_{\alpha\beta}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H^T_{\beta \alpha}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\nonumber\\ =- \Psi^\dagger_\sigma C_{\sigma\beta} H^*_{\beta \alpha}C^\dagger_{\alpha\rho}\Psi_{\rho}\nonumber\\ =+ \Psi^\dagger_\sigma H_{\sigma\rho} \Psi_{\rho}.\\ = \hat H.$$ Таким образом, одночастичное преобразование на$H$оставляет многочастичный гамильтоновский инвариант.

Обратите внимание, что мы использовали$C^{*\dagger} = C^T$и бесследность (строка 5$\to$6) и герметичность$H$в вышеперечисленных манипуляциях. Что еще более важно, несмотря на появление ``$*$"в акции на$H$, многочастичный оператор${\mathsf C}$должны действовать на пространство Фока линейно :

$${\mathsf C}(\lambda |\psi_1\rangle+\mu |\psi_2\rangle)= \lambda {\mathsf C}|\psi_1\rangle+\mu {\mathsf C}|\psi_2\rangle.$$ Линейность требуется на шаге $${\mathsf C}H_{\alpha\beta}{\mathsf C}^{-1}= H_{\alpha\beta}.$$

Я нахожу концептуально более простым представление о симметрии частица-дырка, как она определена в обозначениях вторичного квантования. В самом деле: сам смысл преобразования частица-дырка должен заключаться в том, что оно должно менять местами частицы и дырки, т.е. мы хотим$\mathcal C c^\dagger \mathcal C = c$(где$\mathcal C^2 = 1$). Тогда антиунитарность следует из желания$\mathcal C$сохранить$U(1)$симметрия фермионов: если$c \to e^{i\alpha} c$, затем$\mathcal C (e^{-i\alpha} c^\dagger )\mathcal C = e^{i\alpha} c$. то есть мы хотим, чтобы$\mathcal C e^{-i\alpha} \mathcal C = e^{i\alpha}$. Тогда это естественно и полностью определяет преобразование частица-дырка$\mathcal C$!

Как тогда определить инвариантность относительно этой симметрии? Наивно мы бы сказали$\mathcal C H \mathcal C = H$. Однако это не верное представление. Чтобы убедиться в этом, возьмем простой случай$H = \sum t_{ij} c_i^\dagger c_j + \mu c_i^\dagger c_i$. Интуитивно мы видим, что это должно быть симметричным частица-дырка, если$\mu = 0$. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрите случай перескока между ближайшими соседями, и в этом случае мы знаем, что спектр представляет собой просто косинус, который явно является симметричным частица-дырка при половинном заполнении, т.е.$\mu = 0$.) Используя приведенное выше определение,$\mathcal C H\mathcal C = \sum t_{ij}^* c_i c_j^\dagger + \mu c_i c_i^\dagger$, что по фермионным правилам коммутации совпадает с$- \sum \left( t_{ji}^* c_i^\dagger c_j + \mu c_i^\dagger c_i \right) + \mu N_\textrm{sites}$. Опять же тем, что$H$должно быть эрмитовым, мы знаем, что$t_{ji}^* = t_{ij}$, так что мы видим, что

$$\mathcal C H\mathcal C = -H + \mu N_\textrm{sites}$$

Т.е. в симметричном случае частица-дырка имеем$\mathcal C H\mathcal C = -H$. Тогда естественно принять это как наше определение симметрии частица-дырка!

Более фундаментальный ответ на вопрос, почему оператор частица-дырка воспринимается таким образом, состоит в том, чтобы взглянуть на КТП. Там у нас есть частицы и античастицы, и мы можем присвоить заряд$+q$к частице и$-q$к античастице. Таким образом, оператор, меняющий местами частицы и античастицы$\mathcal{C}$должен удовлетворить$\mathcal{C}|p\rangle=|\bar{p}\rangle$поэтому, если у нас есть оператор заряда$\mathcal{Q}$он должен удовлетворять:$\mathcal{Q}|p\rangle=q|p\rangle$и$\mathcal{Q}|\bar{p}\rangle=-q|\bar{p}\rangle$. Теперь мы применяем$\mathcal{C}$оператор:

$$\mathcal{C} \mathcal{Q}|p\rangle= \mathcal{C} q|p\rangle= q|\bar{p}\rangle$$ При этом одновременно: $$\mathcal{Q}\mathcal{C}|p\rangle= \mathcal{Q}|\bar{p}\rangle= -q|\bar{p}\rangle$$ Таким образом, мы должны иметь $$\mathcal{Q}\mathcal{C}=-\mathcal{C} \mathcal{Q}$$ В этом смысле, если оператор согласуется с тем, как заряды изменяются при$\mathcal{C}$затем: $$\mathcal{C}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{C}=-\mathcal{A}$$ Теперь мы можем применить это к гамильтониану, обратите внимание, что мы не можем иметь$\mathcal{H}\mathcal{C}=\mathcal{C} \mathcal{H}$поскольку это означало бы одновременные собственные состояния гамильтониана и$\mathcal{C}$, но единственные собственные состояния$\mathcal{C}$являются частицами, античастицей которых являются они сами, поскольку$\mathcal{C}^2=1$. Таким образом, чтобы установить согласованность частиц и античастиц, гамильтониан должен удовлетворять: $$\mathcal{C}\mathcal{H}\mathcal{C}=-\mathcal{H}$$ Это фактически связано с приведенным выше ответом, поскольку поддержание$U(1)$симметрия подразумевает сохранение заряда, поэтому$\mathcal{C}$должны быть антиунитарными. Для случая конденсированной материи мы удобно принимаем дырки за античастицы электронов, поскольку очевидно, что они имеют противоположный заряд. Затем следует все вышеперечисленное.