Дырочно-частичная симметрия одного сайта?

Нет, вы не можете записать это преобразование как$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle=c_{i\downarrow}^\dagger|0\rangle$, потому что$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle$и$c_{i\downarrow}^\dagger|0\rangle$два ортогональных квантовых состояния: они не могут быть равными. Преобразование$c_{i\uparrow}^\dagger|0\rangle\to c_{i\uparrow}|0\rangle$вы начинаете с, также неправильно, потому что результирующее состояние$c_{i\uparrow}|0\rangle= 0$, что делает преобразование не унитарным. Что вы обычно используете$c_{i\uparrow}^\dagger=c_{i\downarrow}^\dagger$по-прежнему неправильно, потому что$c_{i\uparrow}^\dagger$и$c_{i\downarrow}^\dagger$являются разными операторами и не могут быть равными.

Правильный способ записи всего — начать с определения оператора преобразования частица-дырка.$\mathcal{P}$, так что его действие на фермионный оператор

$$\mathcal{P}c_{i\sigma}^\dagger\mathcal{P}^{-1} = c_{i\sigma}, \tag{1}$$

и его действие на вакуумное состояние равно

$$\mathcal{P}|0\rangle = \prod_{i,\sigma} c_{i\sigma}^\dagger|0\rangle. \tag{2}$$

Важно, чтобы состояние вакуума$|0\rangle$также должны трансформироваться под$\mathcal{P}$. Физически это связано с тем, что вакуумное состояние — это состояние, в котором частицы не заняты, что означает, что это состояние полностью занято дырками. Таким образом, при преобразовании частица-дырка состояние вакуума станет полностью заполненным состоянием частиц, как это выражено в уравнении (2). Математически уравнение (2) следует из уравнения (1) в результате непротиворечивости. Поскольку вакуумное состояние определяется как состояние, аннулируемое всеми операторами аннигиляции, т.е.$c_{i\sigma}|0\rangle=0$. Теперь, если мы применим$\mathcal{P}$к обеим частям уравнения имеем$\mathcal{P}c_{i\sigma}|0\rangle=\mathcal{P}0=0$(поскольку любой линейный оператор действует на$0$все еще$0$). Однако левая сторона читает$\mathcal{P}c_{i\sigma}|0\rangle=\mathcal{P}c_{i\sigma}\mathcal{P}^{-1}\mathcal{P}|0\rangle=c_{i\sigma}^\dagger\mathcal{P}|0\rangle$, а это означает, что государство$\mathcal{P}|0\rangle$уничтожается оператором создания$c_{i\sigma}^\dagger$вместо этого, поэтому государство$\mathcal{P}|0\rangle$должно быть полностью занято.

Применение уравнения (1) и уравнения (2) к одному сайту (исключая индекс сайта$i$), у нас есть

$$\mathcal{P}c_{\uparrow}^\dagger|0\rangle = (\mathcal{P}c_{\uparrow}^\dagger\mathcal{P}^{-1})(\mathcal{P}|0\rangle)=c_{\uparrow}c_{\uparrow}^\dagger c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle=c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle.$$

Таким образом, это означает, что при преобразовании частица-дырка состояние со спином вверх$c_{\uparrow}^\dagger|0\rangle$переходит в состояние со спином вниз$c_{\downarrow}^\dagger|0\rangle$.