В чем смысл уравнения поля Эйнштейна с точки зрения источника и его влияния на кривизну?

Тот факт, что тензор энергии-импульса называют источником кривизны, не означает, что не может быть никакой кривизны там, где нет энергии-импульса. На самом деле, даже если$T_{\mu\nu}=0$во всем пространстве-времени все еще существуют нетривиальные решения уравнений Эйнштейна в виде гравитационных волн.

Вы должны помнить, что$T_{\mu\nu}$является функцией$x$, и может быть ненулевым внутри тела, но нулевым снаружи. Предположим, у нас есть сферически-симметричная звезда. Внутри него тензор энергии-импульса будет очень сложным объектом со всевозможными давлениями, потоками и прочим. Но вне его,$T_{\mu\nu}$будет просто ноль. Итак, мы разделили пространство на две области:

Когда мы решаем внешнее уравнение, предполагая сферическую симметрию и статическое решение, мы получаем решение Шварцшильда и обнаруживаем, что нам не нужно подробно знать метрику внутри звезды. Все, что нам нужно, это одно число,$M$, который говорит нам все, что нам нужно знать о кривизне вне звезды.

Метрика Шварцшильда удовлетворяет$R_{\mu\nu}=0$, потому что вне звезды (или черной дыры, или чего-то еще) нет источников. Но когда мы решаем дифференциальное уравнение, нам нужны граничные условия. А граничные условия на поверхности звезды (или на$r=0$для черной дыры) — это способ тензора энергии-импульса сообщить нам, что где-то есть материя, даже если область, в которой мы решили уравнение, пуста.

Прежде всего заметим, что обращение в нуль тензора Риччи не влечет за собой обращение в нуль тензора Римана. Таким образом, вакуумные уравнения$R_{\mu\nu}=0$, не означает, что пространство-время плоское. Уравнения вакуума говорят нам, что некоторая линейная комбинация компонент тензора Римана обращается в нуль.

При решении дифференциальных уравнений обычно приходится беспокоиться о граничных условиях . EFE — это просто дифференциальные уравнения метрики, которые нужно решить для компонентов$g_{\mu\nu}$. Позволять$D$быть областью пространства-времени, содержащей материю, т.е.$T|_D\ne 0$. Общая теория относительности пытается решить проблему

Рассмотрим конкретный пример. Рассмотрим сферически-симметричную статическую звезду.$^{1}$. По теореме Биркгофа$^2$, мы уже знаем, что внешнее решение является решением Шварцшильда. Мы считаем, что звезда имеет идеальный жидкий тензор энергии-импульса внутри. Внутри метрика по-прежнему будет иметь сферическую симметрию из-за свойств идеальных жидкостей. Таким образом, мы должны найти$A$и$B$в

Решение для$A(r)$является

Понятно, что поддержка$^3$плотности и давления содержится внутри звезды. Если звезда имеет радиус$R$, затем$\mathcal{M}(R)=M$это общая масса. Проанализируем наше решение на$r=R$. Для$A(r)$мы получаем только стандартный компонент метрики Шварцшильда. Простое упражнение в вычислениях состоит в том, чтобы проверить, что

$^1$См. [1] раздел 11.1 или [2] раздел 6.2 для полного расчета.

$^2$Доказано в [1] на стр. 337.

$^3$Количество$f$Говорят, что есть поддержка в$X$если$f(x)=0$для всех$x\notin X$.

Использованная литература:

[1] С. Вайнберг, Гравитация и космология (1972).

[2] Р. М. Уолд, Общая теория относительности (1984).

Уравнения$R_{\mu\nu} = 0$сами по себе не определяют корректную задачу, так как вам нужно добавить граничные условия. Более того, кривизна многообразия измеряется тензором Римана и$R_{\mu\nu}=0$не подразумевает${R^{\mu}}_{\nu\sigma\rho} = 0$.

Полезно посмотреть на аналогичную ситуацию в классической электродинамике, где возникают те же проблемы.

В общей теории относительности исходным термином является тензор энергии-импульса. В классической электродинамике исходными терминами являются заряд и ток. При отсутствии источников одним из возможных вакуумных решений является постоянное однородное ненулевое электрическое поле. Другим возможным вакуумным решением является постоянное однородное нулевое электрическое поле. Мы можем собрать вакуумный раствор и сшить их воедино, и это будет уже не вакуумный раствор. Но, например, если вы возьмете полевую форму в$\hat{x}$направление$\vec{E}=E\hat{x}$от$x=0$к$x=1m$, и соберите его вместе с$\vec{E}=\vec{0}$для$x<0$и$\vec{E}=\vec{0}$для$x> 1m$, то это еще может быть решение Максвелла, с исходным термином. В этом случае вам нужен бесконечный слой поверхностного заряда в$x=0$плоскость и равный и противоположный поверхностный заряд на бесконечном листе в$x=1m$самолет.

Итак, давайте попробуем это с общей теорией относительности, вы можете взять два решения Шварцшильда для разных параметров массы,$M$и$m$, с$M$>$m$. В качестве вложений они могут выглядеть как воронки. Если у вас есть поверхность с постоянной координатой площади, вы получите тонкую сферическую оболочку, выберите поверхность с площадью поверхности$4\pi R^2$. Для решения с$M$удалите внутреннюю часть корпуса. Повторите для решения с$m$найти тонкую оболочку с точно такой же площадью поверхности$4\pi R^2$(с тем же числовым значением$R$) и на этот раз удалите внешнюю часть оболочки. Так что один выглядит как воронка с отрезанным кончиком, а другой похож на наконечник к воронке. Поскольку они имеют одинаковую площадь поверхности и представляют собой просто сферические оболочки, мы можем сшить их вместе. Теперь у нас есть многообразие, похожее на воронку с изломом.

Каждое вакуумное решение было решением без источника, и мы сшили их вместе на поверхности, где геометрия поверхности совпадала. Но результат (как и в случае с электродинамикой) не является решением без источника. На самом деле это решение, в котором на площади поверхности имеется тонкая оболочка из массы.$4\pi R^2$сферическая поверхность оболочки. Это нормально, что пространство-время искривлено (точно так же, как нормально иметь бегущую волну в электромагнетизме или постоянное электрическое поле). Но допускается только определенная кривизна, что делает исходный термин, так это допускает различные виды кривизны.

И это никак не надумано. Если вы повторите этот трюк с двумя решениями, вы сможете вырезать внутреннюю часть$m$раствор и поставить$\mu$решение внутри него, а затем есть решение с двумя местами с источником, одно на поверхности$4\pi R_1^2$и еще один в$4\pi R_2^2$. По мере того, как вы размещаете оболочки на все большем и большем радиусе, вы можете приблизиться к решению реалистичной невращающейся звезды или планеты. Все, что делает исходный термин, — это позволяет вам иметь непрерывный предел этого процесса, процесса сшивания вакуумных растворов вместе.

Думать о$G_{\mu \nu}=0$как естественный допустимый способ искривления пространства-времени (точно так же, как вакуумные волны или статические поля являются допустимыми электромагнитными полями), и эта кривизна может отклоняться от этих естественных допустимых кривизн, пока существует исходный член, дающий соответствующее согласие. Точно так же, как линия электрического поля не может обрываться, если там нет заряда, подтверждающего это сообщение.