Вакуумное математическое ожидание упорядоченных по времени функций в КЭД

Question

Вакуумное математическое ожидание упорядоченных по времени функций в КЭД

выпускникСтудент

Меня попросили провести преобразование Фурье двухточечной ЭМ функции тока.

г_{мю ν} (Икс) "=" ⟨ Ом | Т {{Дж}_{мю} (Икс) {Дж}_{ν} (0)} | Ом ⟩,

$G_{\mu \nu}(x) = \langle \Omega \lvert T\{J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) \} \rvert \Omega \rangle,$ и доказать что-то конкретное об указанном результате.

Однако у меня возникли проблемы со следующим. Должен ли я вычислить

⟨ Ом | Т {{Дж}_{мю} (Икс) {Дж}_{ν} (0)} | Ом ⟩ "=" \frac{\int Д ψ Д \bar{ψ} {Дж}_{мю} (Икс) {Дж}_{ν} (0) е^{я С [ψ, \bar{ψ}]}}{\int Д ψ Д \bar{ψ} е^{я С [ψ, \bar{ψ}]}},

$\langle \Omega \lvert T\{J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) \} \rvert \Omega \rangle =\frac{\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi} J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) e^{iS[\psi, \bar{\psi}]}}{\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi} e^{iS[\psi, \bar{\psi}]}},$ или есть лучший подход? Я знаю, что вакуумное математическое ожидание также можно вычислить, взяв функциональную производную от производящего функционала, но указанные производные должны быть взяты по отношению к источникам, и я не уверен, что в этом случае я должен брать функциональная производная по полям

A_{μ} (x)

$A_{\mu}(x)$ и

A_{ν} (0)

$A_{\nu}(0)$ .

Любая помощь приветствуется.

Ответы (1)

Вакуумное математическое ожидание упорядоченных по времени функций в КЭД

проф. Леголасов · Answer 1

Существует разница между источником квантового поля в формализме интеграла по траекториям и оператором тока, несмотря на то, что они обозначаются одной и той же буквой. $J_{\mu}$ . В этом ответе $J_{\mu}$ является текущим оператором.

Итак, мы хотим вычислить $\left< J_{\mu} (x) J_{\nu} (y) \right>$ . Первое, что нужно сделать, это подключить определение текущего оператора E/M. Это, конечно, зависит от того, какие заряженные частицы присутствуют в вашей теории. В случае спиноров это дается

{Дж}_{мю} (Икс) "=" я е \bar{ψ} (Икс) γ^{мю} ψ (Икс) .

$J_{\mu} (x) = i e \, \bar{\psi} (x) \, \gamma^{\mu} \, \psi (x).$

Теперь нужно рассчитать

⟨ {Дж}_{мю} (Икс) {Дж}_{ν} (у) ⟩ "=" \int Д ψ Д \bar{ψ} е^{я С [\bar{ψ}, ψ]} {Дж}_{мю} (Икс) {Дж}_{ν} (у),

$\left< J_{\mu} (x) J_{\nu} (y) \right> = \int D\psi D\bar{\psi} e^{i S[\bar{\psi}, \psi]} J_{\mu} (x) J_{\nu} (y),$

где я позволил себе опустить нормировочный множитель в знаменателе.

Подставьте свое выражение для $J_{\mu} (x)$ и используйте теорему Вика! В итоге вы получите три термина.

Первые два слагаемых будут содержать след произведений фермионных пропагаторов. Под фермионным пропагатором я имею в виду

⟨ {\bar{ψ}}^{а} (Икс) ψ_{б} (у) ⟩ "=" С_{б}^{а} (Икс - у) .

$\left< \bar{\psi} ^a (x) \psi_b (y) \right> = S^a_{\;b}(x-y).$

Третий член будет содержать $S(0)^2$ . Этот член сингулярен, и его следует искусственно удалить, переопределив квантовый оператор $J_{\mu}$ в обычном порядке.

Надеюсь, это поможет.

Вакуумное математическое ожидание упорядоченных по времени функций в КЭД

выпускникСтудент

Ответы (1)

проф. Леголасов

Уравнения Швингера-Дайсона: вывод уравнения движения для ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Корреляционная функция одномерной модели XY

Базовая КЭД. Как получаются выражения сохраняющихся зарядов с помощью лестничных операторов?

Амплитуды переходов функциональными методами в КТП

Интеграл мягких фотонов Вайнберга

Интеграл свободного пути частицы Частота Мацубары

Амплитуда перехода от вакуума к вакууму с использованием функционального интеграла

Вывод равенства δϕ(x)|0⟩\frac{\delta\Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ дельта\фи(х)}|0\угол?

Как выполняется функциональный интеграл по импульсу в случае вещественного скалярного поля?

Интеграл по траекториям и диаграммы Фейнмана