Варианты квантовой теории поля

Это варианты, разные виды квантовой теории поля, но они не исключают друг друга. Различные прилагательные, которые вы упоминаете, по-разному разделяют квантовую теорию поля на «кусочки». Упомянутые вами разного рода варианты используются и изучаются разными людьми, классификация имеет разные цели, степень полезности и обоснованности у разных прилагательных различна и т.д.

Конформная квантовая теория поляпредставляет собой особое подмножество квантовых теорий поля, отличающихся динамикой (уравнениями, управляющими эволюцией во времени), а именно соблюдением законов конформной симметрии (по существу масштабированием: только отношения углов и/или длин, а не абсолютные длина вещей, может быть непосредственно измерена). Конформные теории поля имеют локальные степени свободы, а силы всегда являются дальнодействующими силами, которые никогда не убывают на бесконечности быстрее, чем по степенному закону. Они вездесущи как в классификации квантовых теорий поля — почти каждая квантовая теория поля становится масштабно-инвариантной на больших расстояниях — так и в структуре теории струн — конформные теории поля управляют поведением мировых листов струн (здесь, предполагается, что КТП содержит двумерную гравитацию, но последняя не имеет локальных степеней свободы, поэтому локально не влияет на динамику), а также граничную физику в голографическом AdS/CFT-соответствии (здесь КТП на границе антиде Ситтеровское пространство-время физически эквивалентны гравитационной КТП/теории струн, определенной в объеме антиде Ситтеровского пространства). Конформные теории поля являются наиболее важным классом среди тех, которые вы упомянули, для физиков-практиков, которые в конечном итоге хотят говорить об эмпирических данных, но эти теории все еще очень особенные; общие теории поля, которые они изучают (например, Стандартная модель), не являются конформными. КТП на границе антиде Ситтеровского пространства-времени физически эквивалентны гравитационной КТП/теории струн, определенной в объеме антиде Ситтеровского пространства). Конформные теории поля являются наиболее важным классом среди тех, которые вы упомянули, для физиков-практиков, которые в конечном итоге хотят говорить об эмпирических данных, но эти теории все еще очень особенные; общие теории поля, которые они изучают (например, Стандартная модель), не являются конформными. КТП на границе антиде Ситтеровского пространства-времени физически эквивалентны гравитационной КТП/теории струн, определенной в объеме антиде Ситтеровского пространства). Конформные теории поля являются наиболее важным классом среди тех, которые вы упомянули, для физиков-практиков, которые в конечном итоге хотят говорить об эмпирических данных, но эти теории все еще очень особенные; общие теории поля, которые они изучают (например, Стандартная модель), не являются конформными.

Топологическая квантовая теория поля не содержит возбуждений, которые могут распространяться «в объеме» пространства-времени, поэтому она не подходит для описания каких-либо известных нам волн в реальном мире. Характерная величина, описывающая конфигурацию пространства-времени, — действие — остается неизменной при любых непрерывных изменениях полей и форм. Так что имеют значение только качественные, топологические различия между конфигурациями. Топологическая квантовая теория поля (например , теория Черна-Саймонса ) изучается очень математически ориентированными людьми, и полезно классифицировать узлы в теории узлов и других «комбинаторных» вещах. Они являются основной причиной медали Эдварда Виттена Филдса и т. Д.

Аксиоматическая или алгебраическая (и в основном также «конструктивная» ) квантовая теория поляне является подмножеством различных «динамических уравнений». Напротив, это другой подход к определению любой квантовой теории поля через аксиомы и т. д. Вот почему это страсть математиков или крайне математически формально ориентированных физиков, и нужно добавить, что, по мнению почти всех практикующих физиков элементарных частиц, они устарели и потерпели неудачу (связанные с ) подходы, которые действительно не могут описать те квантовые теории поля, которые стали важными. В частности, КТП обоих типов начинаются с наивных предположений о поведении теорий на коротких расстояниях и на самом деле несовместимы с перенормировкой и всеми уроками, которые преподала нам физика в этих вещах. Конструктивные КТП в основном являются инструментами для понимания релятивистской инвариантности квантовой теории поля с помощью определенного метода.

Кроме того, есть много специальных квантовых теорий поля, например чрезвычайно важный класс калибровочных теорий и т. д . У них есть некоторая динамика, включающая калибровочные поля: это классификация по содержанию. КТП часто классифицируют в соответствии с различными симметриями (или их отсутствием), которые также ограничивают их динамические законы: суперсимметричные КТП , гравитационные КТП , основанные на общей теории относительности, теории супергравитации , которые представляют собой КТП, сочетающие общую теорию относительности и суперсимметрию, киральные КТП , которые являются лево-правыми . -асимметричные, релятивистские КТП (почти все КТП, о которых говорят в физике элементарных частиц), калибровочная теория решетки(калибровочная теория, в которой пространство-время заменяется дискретной сеткой) и многие другие. Калибровочные теории также могут быть разделены в зависимости от судьбы калибровочного поля на ограничивающие калибровочные теории , спонтанно нарушенные КТП , ненарушенные фазы и другие. Теория струнного поля — это КТП с бесконечным числом полей, которая разработана так, чтобы быть физически эквивалентной теории пертурбативных струн в том же пространстве-времени, но она гладко работает только для открытых струн и только при исследовании тахионной конденсации она привела к результатам, которых не было. вполне получено другими общими методами теории струн.

Мы также говорим об эффективных квантовых теориях поля, которые представляют собой подход к интерпретации многих (почти всех) квантовых теорий поля как приближенной теории для описания всех явлений в некоторой шкале расстояний (и всех более длинных); человек остается агностиком в отношении законов, управляющих физикой коротких расстояний. Это другая классификация, согласно интерпретации. Эффективные теории поля не должны быть предсказательными или непротиворечивыми вплоть до сколь угодно высоких энергий; у них может быть «предельная энергия», выше которой они разрушаются.

Нет особого смысла тратить слишком много времени на изучение словарных определений; нужно на самом деле изучить некоторую квантовую теорию поля, и тогда релевантность или нерелевантность, значение и взаимосвязь между «вариантами» станут более ясными. Во всяком случае, неверно, что деление на прилагательные так же тривиально, как список цветов: красный, зеленый, синий. Различные прилагательные смотрят на структуру квантовой теории поля с очень разных сторон - симметрии, которые соблюдаются конкретными квантовыми теориями поля (определяемыми с помощью определенных уравнений); количество местных возбуждений; возможность распространить теорию на произвольные масштабы длины; способы определить (все) их, используя строгую математическую структуру, и другие.

Ирвинг Сигал, несносный и нелюбимый гениальный математик из Массачусетского технологического института, однажды задал физикам вопрос: «Что такое квантовое поле? » Пока он рассказывает историю, только Энрико Ферми дал ему ответ (после небольшой паузы для размышлений). «Формализм числа занятия».

Что это значит. Ферми имел в виду, что для данной частицы, скажем, электрона, существует квантовое поле (в данном случае поле электрона. Для фотона это будет электромагнитное поле Максвелла). Эта частица может иметь множество различных состояний. Что ж, составьте список каждого возможного состояния и поставьте в соответствующее место списка количество частиц во Вселенной, которые находятся в этом состоянии, т. е., как мы говорим, «занимают» это состояние. Это квантовое поле. Все остальное — шум и ярость, кхм, все остальное — попытка математически изучить это понятие, как говорит проф. Мотл очень хорошо объяснил. Я хочу, чтобы это помогло....

Если я правильно помню, начало заметок Фейнмана по квантовой электродинамике, первой успешной квантовой теории поля, дает краткое изложение формализма числа заполнения.

По словам Иосифа, Любош ко всему прикасается своим обычным способом.

Менее полезный, чем ответ Любоша, но, возможно, более конкретный для математика, для чего-то сверхактуального вы можете попробовать завершившийся вчера семинар в Стоунибруке на тему «Математические основы квантовой теории поля». На http://scgp.stonybrook.edu/scientific/workshops/1498 есть видео выступлений некоторых игроков. PDF-файл Buchholz (в данном случае без видео) на первый взгляд выглядит хорошим резюме AQFT, и Джаффе говорит о ряде вариантов, которые вы упомянули. Вам придется выбирать среди других докладов в соответствии с вашими математическими вкусами, но заявленная цель конференции

рассмотреть текущее состояние области, договориться о том, что было достигнуто и что можно было бы сделать путем систематического применения известных идей и методов, попытаться определить, где новые идеи и методы могут оказать наибольшее влияние, и согласовать список важных проблем и вопросов, решение которых по крайней мере послужило бы ориентиром для измерения нашего прогресса, а в лучшем случае значительно продвинуло бы область.

Математические статьи обычно используют свой особый подход, ссылаясь на несколько статей, чтобы разместить себя. Я не могу придумать статью, в которой действительно таксономизированы все упомянутые вами подходы и сопоставлены друг с другом.