Вариационный принцип для точечной частицы (массивной или безмассовой) в искривленном пространстве

Question

Вариационный принцип для точечной частицы (массивной или безмассовой) в искривленном пространстве

Физика
геодезические
общая теория относительности
ограниченная динамика
лагранж-формализм
вариационный принцип

ФилософскаяФизика

Мы знаем, что для точечной частицы действие равно

С [Икс, е] "=" \frac{1}{2} \int_{λ_{А}}^{λ_{Б}} г λ [е^{- 1} (λ) г_{мю ν} (Икс (λ)) {\dot{Икс}}^{мю} (λ) {\dot{Икс}}^{ν} (λ) - (м с)^{2} е (λ)],

$S[x,e] ~=~ \frac{1}{2}\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} d\lambda\left[e^{-1}(\lambda)~g_{\mu\nu}(x(\lambda))~\dot{x}^\mu(\lambda)~\dot{x}^\nu(\lambda) -(mc)^2e(\lambda)\right] ,$

с соглашением о подписи $(-,+,+,+)$ . Это было упомянуто на каком-то веб-сайте, как я гуглил, что $e$ и $x$ являются динамическими переменными, и из них мы должны получить уравнения Эйлера-Лагранжа.

Мне было интересно, с чего начать, так как всего несколько минут назад я впервые столкнулся с этой переменной einbein (о которой я вообще не знал, что это переменная)!

Ответы (1)

Вариационный принцип для точечной частицы (массивной или безмассовой) в искривленном пространстве

Qмеханик · Answer 1

Поле Эйнбейна $e(\lambda)\neq 0$ не является динамическим полем, потому что нет $\dot{e}(\lambda)$ подарок. Это так называемое вспомогательное поле или обобщенный множитель Лагранжа. Его EL экв. упрощается до
$\begin{matrix} (1) & (м с е)^{2} \approx - г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} . \end{matrix}$ $(mce)^2~\approx~-g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu} . \tag{1}$ [Здесь $\approx$ символ означает равенство по модулю eom.] Здесь $m$ - масса покоя точечной частицы. См. также соответствующий пост Phys.SE и ссылки в нем.
В массовом случае $m>0$ , мы можем интегрировать $e$ поле, что означает заменить его в действии $S[x,e]$ по его мнению
$\begin{matrix} (2) & е \approx \pm \frac{1}{м с} \sqrt{- г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}}, \end{matrix}$ $e~\approx~\pm\frac{1}{mc}\sqrt{-g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}} ,\tag{2}$ который имеет две ветви. В результате действие $\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} С_{\pm} [Икс] "=" & С [Икс, е "=" \pm \frac{1}{м с} \sqrt{\dots}] \\ "=" & \mp м с \int г λ \sqrt{- г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}} {\begin{matrix} < \\ > \end{matrix}} 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_{\pm}[x]~:=~&S\left[x,e=\pm\frac{1}{mc}\sqrt{ \ldots}\right]\cr ~=~&\mp mc \int \!d\lambda~ \sqrt{- g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}~ \left\{ \begin{array}{c} < \cr > \end{array}\right\}~0. \end{align}\tag{3}$ The $S_{+}[x]$ ветвь является стандартным действием квадратного корня для массивной точечной частицы, ср. например , этот и этот сообщения Phys.SE. Минимум $S_{+}[x]$ (и максимум $S_{-}[x]$ ) получается для времениподобных геодезических кривых $x^{\mu}(\lambda)$ . Часто мы выбрасываем $S_{-}[x]$ ветвь, так как нас в основном интересует минимум. Это можно закодировать в вариационный принцип, если предположить, что поле einbein $e(\lambda)>0$ положительный.
В безмассовом случае $m=0$ , экв. (1) становится
$\begin{matrix} (4) & г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} \approx 0, \end{matrix}$ $g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu} ~\approx~0, \tag{4}$ которое представляет собой уравнение движения (УОМ) для безмассовой частицы, ср. например, этот пост Phys.SE.

Вариационный принцип для точечной частицы (массивной или безмассовой) в искривленном пространстве

ФилософскаяФизика

Ответы (1)

Qмеханик

Принципиальный подход к получению геодезического гамильтониана H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

Действие массивной точечной частицы в искривленном пространстве-времени

Существует ли принцип Мопертюи для общей теории относительности?

Производные лагранжиана для релятивистской массивной точечной частицы

Мировая линия действия точечной частицы в гравитационном поле

Использование элемента площади при выводе геодезической

Уравнение Эйлера-Лагранжа в общей теории относительности

Вывод геодезического уравнения с использованием множителя Лагранжа для исправления аффинной параметризации

Геодезические из вариационного принципа по координате?

Лагранжева формула для светоподобных геодезических