Мировая линия действия точечной частицы в гравитационном поле

Да, главное, чтобы длина дуги$^1$

$$ds~=~cd\tau~=~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) dx^{\mu}dx^{\nu}}\tag{A}$$ в пространстве-времени это скорость света$c$раз в нужное время$d\tau$, так что $$c\dot{\tau}~=~\dot{s}~=~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}},\tag{B}$$ где точка означает дифференцирование относительно. параметр мировой линии (WL)$\lambda$(что не обязательно является подходящим временем$\tau$). Следовательно, действие $$S~=~ mc^2\Delta \tau~=~ mc\Delta s~=~mc\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\!d\lambda ~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}, \tag{C}$$ см., например, этот пост Phys.SE и ссылки в нем.

--

$^1$В этом ответе мы используем$(-,+,+,+)$Соглашение о знаках Минковского.