Уравнение Эйлера-Лагранжа в общей теории относительности

В теории относительности лагранжиан свободной частицы равен

$$\begin{align} \mathcal L=\sqrt{g_{ab}\frac{dx^a}{d\tau}\frac{dx^b}{d\tau}}\end{align}$$ С $\mathcal L$является инвариантом параметризации, мы всегда можем установить $$\mathcal L=1.$$ Как в этом случае уравнение Эйлера-Лагранжа может

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu}\right) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} &=0 \end{align}$$ смысл? Как может $\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{x}^\mu}$и $\frac{\partial \mathcal L}{\partial {x}^\mu}$не быть нулем?