Вероятность касания двух вибрирующих балок

Постановка проблемы

Я смотрю на две соседние упругие консольные балки. Они имеют микронный/наноразмерный размер и поэтому вибрируют из-за теплового шума. Проблема, которую я пытаюсь решить, заключается в том, достаточно ли вибраций, чтобы концы кантилеверов соприкоснулись или нет.

Балки одинаковой высоты ЧАС , разделенные расстоянием а , и имеют одинаковый модуль Юнга Е , площадь момента инерции я , и плотность массы на длину мю . Прогиб кончика каждого кантилевера равен дельта 1 ( т ) и дельта 2 ( т ) .

введите описание изображения здесь

Согласно теореме о равнораспределении колебания из-за теплового шума будут такими, что

1 2 к Б Т "=" 1 2 К о 2

где к Б постоянная Больцмана, Т абсолютная температура, К - упругая постоянная упругого кантилевера К "=" 3 Е я / ЧАС 3 , и о 2 — среднеквадратический прогиб кантилевера, вызванный тепловыми колебаниями.

Решение для стандартного отклонения смещения о мы получаем:

о "=" к Б Т ЧАС 3 3 Е я

Отсюда легко решить, когда среднее отклонение наконечника равно половине ширины зазора. а / 2 . Однако о является просто стандартным отклонением отклонения, в любой момент времени амплитуда вибрации может быть намного больше или меньше.

Допущение : вероятность того, что амплитуда отклонения любого кантилевера будет г следует распределению Гаусса:

п ( г ) "=" 1 2 о 2 π опыт ⁡ ( − г 2 2 о 2 )

Это означает, что в любой момент времени амплитуда отклонения может быть любой величиной от − ∞ к + ∞ (хотя физически, конечно, невозможно, чтобы она была больше общей длины кантилевера ЧАС ) но с тех пор о ≪ ЧАС это должно быть достаточно близкое приближение.

Итак, теперь у нас есть два вибрирующих кантилевера, амплитуда каждого из которых случайна, но имеет известное распределение вероятностей. Для простоты мы будем игнорировать все колебательные моды, кроме первой.

Предположение : два вибрирующих кантилевера не обязательно совпадают по фазе, каждый из них имеет случайный фазовый угол. Фазовый угол каждого кантилевера имеет равномерное распределение вероятностей:

п п час а с е ( θ я ) "=" 1 / 2 π ; θ я е [ 0 , 2 π ]

Однако, поскольку нас беспокоит только разница между фазовым углом двух кантилеверов, мы можем выполнить преобразование координат, чтобы фазовый угол кантилевера 1 был равен нулю. Поэтому для положения концов каждой из консолей в зависимости от времени имеем следующие выражения:

дельта 1 ( т ) "=" г 1 потому что ⁡ ( ю т )
дельта 2 ( т ) "=" г 2 потому что ⁡ ( ю т + θ )

где ю частота колебаний, т это время, и θ разность фаз между двумя кантилеверами. Частота ю считается 1-й собственной частотой, которая

ю 1 "=" β 1 2 Е я мю

где β 1 является первым собственным значением, определяемым собственным условием чушь ⁡ ( β 1 ЧАС ) потому что ⁡ ( β 1 ЧАС ) + 1 "=" 0 , который становится β 1 "=" 0,59686 π / ЧАС .

Прикосновение Состояние

Концы двух вибрирующих кантилеверов соприкоснутся, если в какой-то момент будет выполнено следующее условие:

а − дельта 1 + дельта 2 ≤ 0

The − дельта 1 + дельта 2 можно оценить с помощью векторного сложения :

− г 1 потому что ⁡ ( ю т ) + г 2 потому что ⁡ ( ю т + θ ) "=" г 3 потому что ⁡ ( ю т + θ 3 )

где:

г 3 "=" ( г 2 потому что ⁡ θ − г 1 ) 2 + ( г 2 грех ⁡ θ ) 2

θ 3 "=" арктический ⁡ ( г 2 грех ⁡ θ г 2 потому что ⁡ θ − г 1 )

Таким образом, состояние прикосновения становится

а + г 3 потому что ⁡ ( ю т + θ 3 ) ≤ 0

Для синусоидального члена нас действительно не волнует, где именно он находится в фазовом угле, все, что нам нужно, это то, верно ли неравенство в любой момент времени. Таким образом, мы можем просто взять пределы этого члена, т.е. ± г 3 . Поскольку мы хотим, чтобы LHS был меньше нуля и а всегда положительно, мы можем упростить неравенство до этого:

а − г 3 ≤ 0

а − ( г 2 потому что ⁡ θ − г 1 ) 2 + ( г 2 грех ⁡ θ ) 2

и немного переставляя:

( г 2 потому что ⁡ θ − г 1 ) 2 + ( г 2 грех ⁡ θ ) 2 − а 2 ≥ 0

Проблема

В конечном итоге я хочу определить вероятность соприкосновения двух консолей. Это сводится к нахождению вероятности того, что приведенное выше неравенство верно. Я знаю распределения вероятностей для двух перемещений г 1 и г 2 , а фазовый угол θ как показано выше. Но я не знаю, как мне их использовать для оценки вероятности истинности неравенства. Я предполагаю, что это будет связано с интеграцией г 1 и г 2 от − ∞ к + ∞ и θ от 0 к 2 π , а дальше понятия не имею.

Редактировать : я разместил последний математический вопрос на math.stackexchange здесь .

Трудность в этом вопросе кажется скорее математической, чем физической. Рассматривали ли вы размещение на Mathematics SE? ... Вы можете рассмотреть возможность запуска симуляции. Вероятно, решение в любом случае потребует численных вычислений.
Часть причины, по которой я разместил это здесь, заключалась в том, чтобы посмотреть, думают ли другие здесь, что мой анализ проблемы имеет смысл, посмотреть, возможно, есть другой способ решить эту проблему и т. д. У меня есть еще несколько вопросов по этому поводу, которые относятся к фактическому физика этого, но мне нужно сначала решить это, чтобы даже добраться до них. Но отправка его в math.overflow может быть хорошей идеей, если просто сформулировать в терминах математической задачи в конце.
Я, конечно, мог бы просто переборщить и решить его, используя подход Монте-Карло, но я хотел бы иметь какое-то аналитическое выражение/интеграл, даже если мне придется оценивать это численно. Это позволит мне понять тенденции масштабирования и т. д. и понять, как вероятность касания зависит от таких параметров, как длина, жесткость, ширина зазора и т. д.
Я не уверен, что это правильно. Разве не нужно учитывать АЧХ кантилеверов на случайное возбуждение? Например, если они слегка демпфированы, их движение будет далеко не «случайным» — это будет в основном суперпозиция их нормальных мод колебаний.
alphzero, да, движение будет суперпозицией обычных мод. Я упрощаю задачу, используя только 1-й режим и игнорируя остальные, так как вклад полного отклонения наконечника от н > 1 режимов значительно меньше, чем у н "=" 1 режим. Так как они оба имеют то же самое Е , я , и мю , то их характерная частота ю будет то же самое.
Распределение Гаусса, которое вы записали, — это распределение смещений лучей по реализациям эксперимента в произвольный момент времени (и вы предполагаете, что это распределение не зависит от времени). Не имеет смысла использовать это распределение как амплитуду синусоидального движения, так как это совсем не то, что говорит нам теорема о равнораспределении. Кроме того, предположение о синусоидальности движения также неверно: при тепловом движении фаза и амплитуды являются стохастическими переменными, зависящими от времени.
Рекомендую немного почистить пост. Например, на самом деле никогда явно не говорится о том, что мы знаем о г 1 и г 2 . Я думаю (исходя из обозначений), что предполагается, что они взяты из распределения Гаусса. Это следует уточнить. В любом случае, если вы заинтересованы в обсуждении этой проблемы, напишите мне в чат . Я, вероятно, не напишу ответ, пока пост не будет прояснен, потому что в его нынешнем виде он делает достаточно неверных предположений, и ответ будет несколько несфокусированным.
Спасибо за понимание, DanielSank. Я воспользуюсь этим предложением и попытаюсь пропинговать вас в чате.
Я забыл поставить тебе хештег. Спасибо, @DanielSank, я был бы очень признателен, если бы смог собраться с вами в чате и обсудить эту проблему.
Ладно, пингуй меня там.

Ответы (1)

Рассмотрим систему координат с началом в средней точке между двумя консолями. Позволять г — горизонтальная координата, положительная вправо. Поэтому кантилеверы расположены на г "=" ± а / 2 . Распределение вероятности смещения г 1 и г 2 консольных наконечников Н г 1 ( + а / 2 , о ) и Н г 2 ( − а / 2 , о ) соответственно для правого и левого консолей, где Н нормальное распределение. Вы предполагаете, что движение двух консолей независимо. Следовательно, совместное распределение вероятностей того, что правый конец кантилевера должен быть смещен к г 1 и левый консольный наконечник должен быть смещен к г 2 просто

ф ( г 1 , г 2 ) "=" ф ( г 1 ) ф ( г 2 ) "=" Н г 1 ( + а / 2 , о ) Н г 2 ( − а / 2 , о )
Чтобы кончики кантилеверов соприкасались, мы должны иметь г 1 ≤ г 2 и | г 1 , 2 | ≤ а / 2 (при условии, что контакт всегда происходит в области между двумя консолями). То есть для любого заданного | г 1 | ≤ а / 2 для правого конца кантилевера вероятность того, что кончики кантилеверов соприкоснутся, равна вероятности того, что левый конец кантилевера сместится в г 2 такой, что г 1 ≤ г 2 ≤ а / 2 . Эта вероятность просто
∫ − а / 2 + а / 2 д г 1 ∫ г 1 + а / 2 д г 2   ф ( г 1 , г 2 )

Конечно, здесь делается большое предположение, а именно, что если кантилеверы соприкасаются, то они будут делать это только в пределах небольшой окрестности своих вершин, и что вероятность того, что вершина одного кантилевера коснется какой-либо точки за пределами этой окрестности другой кантилевер пренебрежимо мал. С точки зрения геометрии это действительно сомнительное предположение.

-----------------Обновлять------------------

Хотя я не уверен, что вероятность ( г 2 потому что ⁡ θ − г 1 ) 2 + ( г 2 грех ⁡ θ ) 2 − а 2 ≥ 0 дает вам искомую вероятность, я покажу, как ее вычислить.

я так понимаю г 1 , г 2 , θ все независимые случайные величины. Позволять ф ( ) обозначим PDF его аргумента как случайную величину. Тогда совместный PDF

ф ( г 1 , г 2 , θ ) "=" ф ( г 1 ) ф ( г 2 ) ф ( θ )
Сейчас
( г 2 потому что ⁡ θ − г 1 ) 2 + ( г 2 грех ⁡ θ ) 2 − а 2 ≥ 0 ⇒ ( г 2 потому что ⁡ θ − г 1 ) 2 ≥ а 2 − ( г 2 грех ⁡ θ ) 2 ⇒ ( α − г 1 ) 2 ≥ β 2 α ≡ г 2 потому что ⁡ θ , β ≡ а 2 − ( г 2 грех ⁡ θ ) 2
Если мы исправим г 2 , θ , затем α , β , являются константами. Затем час ( г 1 ) ≡ ( α − г 1 ) 2 это парабола и час ( г 1 ) "=" β 2 представляет собой горизонтальную линию. Два пересекаются в α ± β . Неравенство ( α − г 1 ) 2 ≥ β 2 удовлетворен, если г 1 ≤ α − β или г 1 ≥ α + β . Далее мы требуем, чтобы β быть реальным, что подразумевает
β 2 ≥ 0 а 2 − ( г 2 грех ⁡ θ ) 2 ≥ 0 ( г 2 грех ⁡ θ ) 2 ≤ а 2 г 2 2 ≤ ( а грех ⁡ θ ) 2 ∴ | г 2 | ≤ а | грех ⁡ θ |
Следовательно, искомая вероятность равна
∫ 0 2 π д θ ∫ − а / | грех ⁡ θ | + а / | грех ⁡ θ | д г 2 [ ∫ − ∞ α − β д г 1   ф ( г 1 , г 2 , θ ) + ∫ α + β + ∞ д г 1   ф ( г 1 , г 2 , θ ) ] "=" ∫ 0 2 π д θ ∫ − а / | грех ⁡ θ | + а / | грех ⁡ θ | д г 2 [ 1 − ∫ α − β α + β д г 1   ф ( г 1 , г 2 , θ ) ]

Предполагает ли это, что фаза каждого из кантилеверов строго противофазна, т. е. левый кантилевер достигает своего крайнего правого положения в то же время, когда правый кантилевер достигает своего крайнего левого положения?
Насколько я понимаю, амплитуды колебаний распределены нормально (и фазы распределены равномерно), но какое распределение получается для перемещений концов ?
@sammygerbil В вопросе, который я интерпретировал г быть смещение наконечника. Если это не так, нам нужно найти PDF для смещения кончика.
@Derek Я сформулировал ответ в терминах заданного PDF для смещения наконечника. В этом случае фазовые соображения излишни. Также время не входит в картину, потому что все распределения вероятностей не зависят от времени (т.е. стационарны), следовательно, таков и ответ. Вы можете думать об этом так: рассмотрите большой ансамбль такой пары консолей. Тогда в любой момент времени доля ансамбля, в котором кантилеверы соприкасаются, одинакова.
Дип, спасибо за показ этого анализа. Отлично. Я думаю, что, возможно, сделал некоторые неверные предположения при настройке проблемы, как указывает DanielSank в своих комментариях выше. Я думаю, вы выражали аналогичные опасения, когда заявляли, что не убеждены в том, что поставленный мною вопрос о вероятности дает реальную вероятность, которую я ищу.
@Derek Заданный вами абстрактный вопрос был настолько интересным, что я не мог успокоиться, пока не решил его к своему удовлетворению. Отсюда и неоднократные переделки. Жаль, что это не дает вам того, чего вы хотите, но для меня это было весело.
Глубоко, спасибо. Тем временем я попытаюсь связаться с @DanielSank, так как он указал, что у него есть некоторые идеи о том, как я мог бы сделать несколько лучших предположений о решении проблемы.
Вероятность касания двух вибрирующих балок
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v