Пружинная система - система 3 DoF и ее свойства при изменении жесткости

Это легко увидеть, не занимаясь математикой, а просто взглянув на картинку.

Рассмотрим сначала случай низкой$k_{12}$. В этом случае,$m_1$и$m_2$принципиально не замечаю$k_{12}$потому что он настолько слаб, что его заглушают другие источники. Так что низкий$k_{12}$случай в основном дает то же значение, что и$k_{12}=0$чехол для всех трех частот (это можно проверить).

В качестве упражнения давайте подумаем, что произойдет, если вы удалите$k_{20}$и$k_{23}$(т.е. установить их равными нулю). Сейчас$m_2$может видеть$k_{12}$потому что нет других пружин, заглушающих его эффект, и вы должны получить одну частоту, изменяющуюся как$k_{12}$уходит в ноль. Это только одна, потому что две частоты будут только для симметричной и антисимметричной мод.$m_1$и$m_3$, которые действительно не заботятся о$m_2$. Третий будет медленнее.

Теперь давайте о высоком$k_{12}$предел. Здесь$m_2$видит только$k_{12}$, и с тех пор$k_{12}$такой большой,$m_1$и$m_2$в основном жестко закреплены. Таким образом, двумя модами будут симметричная и антисимметричная моды$m_3$и$m_1+m_2$(вы можете проверить это, вы должны добавить$k_{10}$и$k_{20}$а также$k_{13}$и$k_{23}$чтобы получить эффективные пружинные константы), а третий режим будет быстрым колебанием$m_2$относительно$m_1$. Вы также можете проверить это, частота должна быть$\sqrt{k_{12}/\mu}$, где$\mu$приведенная масса для$m_1$и$m_2$:$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$