Влияют ли время и гравитация в состоянии покоя по сравнению со свободным падением?

Поскольку из ваших предыдущих вопросов вы, очевидно, заинтересованы в том, чтобы узнать, как это делается, я углублюсь в детали расчета. Обратите внимание, что многое из того, что следует, можно найти в существующих ответах, но я адаптирую этот ответ специально для вас.

Замедление времени рассчитывается путем вычисления собственного изменения времени ,$d\tau$, используя выражение:

$$c^2d\tau^2 = -g_{ab}dx^adx^b \tag{1}$$

где$g_{ab}$является метрическим тензором . Причина, по которой мы можем использовать это для вычисления замедления времени, заключается в том, что собственное время является инвариантом, т. е. все наблюдатели согласны с его значением. Чтобы проиллюстрировать, как мы это делаем, давайте рассмотрим простой пример космонавта, движущегося со скоростью$v$в плоском пространстве-времени. В этом случае метрика является просто метрикой Минковского, и уравнение (1) упрощается до:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2}$$

Сначала делаем расчет в раме покоя космонавта. В этом кадре космонавт не двигается, поэтому$dx = dy = dz = 0$, а собственное время, наблюдаемое космонавтом, равно:

$$d\tau_{astronaut} = dt$$

Теперь давайте здесь, на земле, вычислим правильное время. Расположим наши координаты так, чтобы космонавт двигался по$x$ось, поэтому$dy = dz = 0$. В этом случае уравнение (2) принимает вид:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2$$

Далее заметим, что если космонавт движется со скоростью$v$это значит$dx/dt = v$, потому что это то, что мы подразумеваем под скоростью. Так$dx = vdt$. Подставляем это в наше уравнение и получаем:

$$c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - (vdt)^2$$

который перестраивается на:

$$d\tau_{Earth} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}dt$$

Поскольку собственное время является инвариантом, и мы, и космонавт должны были рассчитать одно и то же значение, т.е.$d\tau_{Earth} = d\tau_{astronaut}$, а если заменить$d\tau_{Earth}$в уравнении выше мы получаем:

$$\frac{d\tau_{astronaut}}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$$

где$\gamma$есть фактор Лоренца . Но левая сторона — это просто изменение времени астронавта по сравнению с нашим временем — другими словами, это замедление времени. А это уравнение — просто стандартное выражение для замедления времени в специальной теории относительности, которую мы преподаем всем изучающим СТО.

Суть всего этого в том, что мы можем использовать точно такую ​​же процедуру для определения замедления времени в гравитационных полях. Возьмем гравитационное поле сферически-симметричного тела, которое задается метрикой Шварцшильда :

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}dr^2 - r^2 (d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2) \tag{3}$$

Это очень похоже на уравнение (2), которое мы использовали в плоском пространстве-времени, за исключением того, что коэффициенты для$dt$и т. д. теперь являются функциями расстояния, и мы делаем вычисления точно таким же образом. Начнем с расчета замедления времени для неподвижного космонавта на расстоянии$r$. Поскольку космонавт неподвижен, мы имеем$dr = d\theta = d\phi = 0$, а уравнение (3) упрощается до:

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2$$

и на этот раз получаем:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{2GM}{r c^2}} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r}} \tag{4}$$

где$r_s$радиус Шварцшильда. Вот и все — вычислить замедление времени для стационарного наблюдателя в гравитационном поле так просто. Вы найдете это выражение в любом вступительном тексте по GR.

Но суть вашего вопроса (наконец-то мы добрались до него!) заключается в том, что произойдет, если наш наблюдатель в гравитационном поле будет двигаться? Что ж, предположим, что они движутся радиально; направление со скоростью$v$, поэтому, как и в случае плоского пространства, имеем$dr = vdt$и$d\theta = d\phi = 0$. Подставляем это в уравнение (3), чтобы получить:

$$c^2d\tau^2 = c^2\left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)dt^2 - \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1}v^2dt^2$$

который перестраивается на:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1-\frac{r_s}{r} - \frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}} \tag{5}$$

И еще раз, это так просто. Если вы сравните этот результат с уравнением (4), вы увидите, что замедление времени для движущегося объекта отличается, потому что у нас есть дополнительный член$\frac{v^2/c^2}{1-\frac{r_s}{r}}$в квадратном корне.

Последняя проверка здравомыслия: что произойдет, если мы уйдем на бесконечное расстояние от притягивающего объекта так,$r \rightarrow \infty$? Ну если$r \rightarrow \infty$затем$r_s/r \rightarrow 0$и уравнение (5) принимает вид:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}$$

именно это мы рассчитали для плоского пространства-времени.

Поскольку в теории относительности одновременность относительна, невозможно сказать, какой объект движется медленнее. Но если вы пойдете двумя путями, соединяющими две точки пространства-времени$A$и$B$, то вы можете сравнить скорости по этим путям.

Они не равны. Предположим, что первый путь — геодезический, а второй — нет, и на мгновение забудьте о глобальных топологических проблемах. Тогда есть простой аргумент: поскольку геодезическое уравнение может быть получено путем изменения собственного времени действия для частицы, оно меньше для пути$A$чем для$B$.