Сложная скалярная теория: операторы уничтожения и рождения дают неправильные коммутаторы с гамильтонианом

Теорию реального (эрмитова) скалярного поля можно найти во многих книгах и везде в Интернете. С другой стороны, если мы возьмем поле неэрмитовым, то я могу найти только заметки об интегралах по траекториям. Я ничего не могу найти о канонических коммутациях, поэтому я попытался вывести это сам. Дело в том, что я нахожу неправильный коммутатор с гамильтонианом и не могу найти свою ошибку. Мне было бы очень полезно, если бы кто-нибудь что-нибудь сказал по этому поводу.

Я, вероятно, упущу некоторые числовые факторы, и я мог бы потерять некоторые кинжалы/знаки в этом посте, но эти вопросы не важны прямо сейчас. Прошу прощения, если есть мелкие ошибки, не обращайте на них внимания. С другой стороны, если есть какая-то серьезная ошибка, пожалуйста, обратите внимание и скажите мне :)

Первый шаг: поля$\phi(x)$,$\phi^\dagger(x)$,$\pi(x)$и$\pi^\dagger(x)$. Они коммутируют следующим образом

$$[\phi,\phi^\dagger]=[\pi,\pi^\dagger]=[\phi,\pi^\dagger]=0\\ [\phi,\pi]=[\phi^\dagger,\pi^\dagger]=i\delta(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$$ (мы очевидно берем поля в равные моменты времени)

Второй шаг: из уравнения КГ мы решаем для$\phi$

$$\phi(x)=\int\frac{\mathrm d\boldsymbol k}{2\omega(\boldsymbol k)}\ \mathrm e^{-ikx}a(\boldsymbol k)+\mathrm e^{+ikx}b^\dagger(\boldsymbol k)$$ и аналогичные уравнения для других полей. Обращая их, мы находим $$a(\boldsymbol k)=\int \mathrm d\boldsymbol x\ \mathrm e^{ikx} \left[\omega(\boldsymbol k)\phi(x)+i\pi^\dagger(x)\right]$$ и аналогичные уравнения для $b(\boldsymbol k)$.

Третий шаг: запишите гамильтониан как

$$H=\int\frac{\mathrm d \boldsymbol k}{2\omega(\boldsymbol k)} \frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[ a^\dagger(\boldsymbol k) a(\boldsymbol k)+b^\dagger(\boldsymbol k) b(\boldsymbol k)\right]$$

Проблема возникает со следующим (и последним) шагом: если я разработаю коммутатор$a$и$b$с$H$, я получаю неожиданный результат. Например,

$$[H,a(\boldsymbol k)]=-\frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[a(\boldsymbol k)+b(\boldsymbol k)\right]$$ (Я ожидал что-то вроде $[H,a]=-\omega a$; обратите внимание, что это было бы у нас, если бы $a=b$, т. е. поле было эрмитовым)

Отсюда мы видим, что$a$нельзя использовать как оператор уничтожения, потому что если$|E\rangle$это состояние с энергией$E$, затем$a(\boldsymbol k)|E\rangle$не будет другим собственным состоянием с энергией$E-\omega(\boldsymbol k)$; чтобы увидеть это, обратите внимание, что

$$Ha(\boldsymbol k)|E\rangle=\big(a(\boldsymbol k)H+[H,a(\boldsymbol k)]\big)|E\rangle=\big(a(\boldsymbol k)E-\frac{1}{2}\omega(\boldsymbol k)\left[a(\boldsymbol k)+b(\boldsymbol k)\right]\big)|E\rangle$$

Если поле$\phi$был отшельником, то$a=b$чтобы последнее равенство читалось$Ha|E\rangle=(E-\omega)a|E\rangle$, так$a$ будет оператором уничтожения. С другой стороны, если$a\neq b$, то ни$a$ни$b$уменьшают энергию собственных состояний. Где я неправ?