Вопрос о U(1)B−LU(1)B−LU(1)_{BL}

не могу найти ссылку на$U(1)_{B-L}$в упомянутой книге. $L$здесь относится к лептонному числу, и подозрительно, что это должно появиться в книге по КХД.

Помимо этого, какие симметрии имеет лагранжиан КХД? В том случае, если у нас есть$N$ароматов безмассовых кварков, мы можем вращать левые кварки между собой (в пространстве ароматов) и правые кварки между собой независимо друг от друга . Это приводит к глобальной симметрии:

$$U(N) \times U(N)$$

На уровне алгебры эту симметрию также можно записать

$$SU(N)_L \times SU(N)_R \times U(1)_L \times U(1)_R$$

где нижние индексы указывают, действует ли симметрия на левые или правые кварки. Вместо независимого поворота влево или вправо иногда может быть полезно перефазировать влево и вправо на одинаковую величину или перефазировать их на противоположные величины . Их называют векторной и осевой симметриями соответственно. Можно показать, что любая перефазировка только влево или вправо может быть достигнута комбинацией осевой и векторной перефазировки. Так

$$U(1)_L \times U(1)_R = U(1)_V \times U(1)_A$$

Теперь кульминация. В квантовой теории осевая симметрия$U(1)_A$является аномальным . Это означает, что это не симметрия с точки зрения квантовой механики, несмотря на то, что она является симметрией с классической точки зрения. Итак, группа симметрии безмассовой КХД как квантовой теории:

$$SU(N)_L \times SU(N)_R \times U(1)_V$$

Можно проверить, что одновременная перефазировка всех ароматов и хиральностей кварков на одинаковую величину в точности соответствует симметрии, соответствующей барионному числу. Так что мы также можем написать$U(1)_V = U(1)_B$. Это почти конец истории, но мы еще не объяснили, почему$U(1)_{B-L}$должно появиться. Оказывается, если мы включим КХД в стандартную модель и соединим кварки со слабыми и сверхзарядными калибровочными бозонами, а также с глюоном,$U(1)_B$также является аномальным . То же самое относится и к$U(1)_L$, симметрия, соответствующая перефазировке всех лептонов одновременно на одинаковую величину. Единственный$U(1)$глобальная симметрия, сохраняющаяся в квантовой теории стандартной модели, — это$B - L$, симметрия соответствует вращению всех кварков на одинаковую величину и всех лептонов на противоположную величину.

Я перерыл всю книгу и не нашел ни одного случая "$U(1)_{B-L}$", поэтому ссылка на номер страницы была бы полезна. Но для целей чистой КХД$U(1)_V$такой же как$U(1)_B$, потому что все кварки несут одно и то же барионное число, а это то же самое, что$U(1)_{B-L}$поскольку ничто не несет лептонного числа.

Можно было бы предпочесть написать$U(1)_{B-L}$скорее, чем$U(1)_V$если иметь в виду остальную часть Стандартной модели. Если вы включите другие поля шкалы Стандартной модели, окажется, что$U(1)_V$является аномальным и$U(1)_L$также является аномальным; уникальная неаномальная комбинация$U(1)_{B-L}$. Это хорошо, потому что дает нам абсолютно сохраняющуюся величину, а также симметрию, которую можно калибровать.

Это все еще не объясняет ее полностью, потому что, если бы они собирались записывать только симметрии, не являющиеся аномальными в СМ, они не должны были бы записывать$SU(3)_L \times SU(3)_R$либо, поскольку эта симметрия также аномальна. Я подозреваю, что они просто писали по привычке, не особо вникая в то, что делали.