Вопросы об эффекте Штарка на водороде

Question

Вопросы об эффекте Штарка на водороде

Физика
водород
квантовая механика
теория возмущений

asdf

Предположим, что на атом водорода действует слабое однородное электрическое поле $\vec{E}=\epsilon \hat{z}$ . Пренебрежем влиянием спина электрона. Возмущение, добавленное к исходному гамильтониану $H_0$ является $H^{'}=e\epsilon Z$ .

Q1. Энергетический сдвиг для основного состояния определяется выражением

Е_{1} "=" - \frac{1}{2} м с^{2} α^{2} \frac{1}{н^{2}} + е ϵ ⟨ 100 | е ϵ Z | 100 ⟩ + \sum_{н "=" 2}^{\infty} \frac{| ⟨ н 10 | е ϵ Z | 100 ⟩ |^{2}}{Е_{1}^{0} - Е_{н}^{0}}

$E_1 =-\frac{1}{2}mc^2\alpha^2\frac{1}{n^2} +e\epsilon \langle100|e\epsilon Z|100\rangle +\sum_{n=2}^\infty \frac{|\langle n10|e\epsilon Z|100\rangle|^2}{E_1^0-E_n^0}$ Возмущение первого порядка по энергии равно

0

$0$ и большинство учебников по квантовой механике объясняют эффект Штарка только до такой степени. Я нашел в Интернете, что точное значение второго возмущения (третье слагаемое в правой части) равно

- \frac{9}{4} a_{0}^{3} ϵ^{2}

$-\frac{9}{4} a_0^3 \epsilon^2$ где

a_{0} = \frac{ℏ^{2}}{m e^{2}}

$a_0=\frac{\hbar^2}{me^2}$ — боровский радиус. Как я могу рассчитать это значение?

Q2. Что можно сказать о возмущении первого порядка? $|100^{(1)}\rangle$ основного состояния $|100\rangle$ ?

| 100^{(1)} ⟩ "=" \sum_{н "=" 2}^{\infty} \frac{| н 10 ⟩ ⟨ н 10 | е ϵ Z | 100 ⟩}{Е_{1}^{0} - Е_{н}^{0}}

$|100^{(1)}\rangle\,=\sum_{n=2}^\infty \frac{|n10\rangle\langle n10|e\epsilon Z|100\rangle}{E_1^0-E_n^0}$

Гул

Ваши уравнения на самом деле неверны, хотя и неявным образом. Суммы, которые вы написали, только выходят за пределы

p_{z}

$p_{z}$ состояния; однако есть также несвязанные (континуальные) состояния, которые вносят свой вклад в качестве виртуальных промежуточных звеньев.

asdf

@Buzz Спасибо за комментарий. Я использовал четность водорода и его коммутационное соотношение с

L_{z}

$L_z$ волновой функции, чтобы исключить другие члены, которые дадут нам 0. Что именно означают неограниченные состояния?

Гул

Спектр гамильтониана для

1 / r

$1/r$ потенциал содержит как набор дискретных состояний состояний с энергиями

E < 0

$E<0$ (связанный) и континуум состояний с энергиями

E > 0

$E>0$ (несвязанный). (Они аналогичны эллиптическим и гиперболическим орбитам в классической задаче Кеплера.) На больших расстояниях, где потенциал почти незначителен, состояния континуума могут выглядеть почти как собственные состояния плоской волны гамильтониана свободного электрона; однако они сильно искажаются на меньших расстояниях. Несвязанные состояния могут иметь правильные значения углового момента, чтобы внести вклад в сумму.

Ответы (2)

Вопросы об эффекте Штарка на водороде

Ваши уравнения на самом деле неверны, хотя и неявным образом. Суммы, которые вы написали, только выходят за пределы $p_{z}$ состояния; однако есть также несвязанные (континуальные) состояния, которые вносят свой вклад в качестве виртуальных промежуточных звеньев.
@Buzz Спасибо за комментарий. Я использовал четность водорода и его коммутационное соотношение с $L_z$ волновой функции, чтобы исключить другие члены, которые дадут нам 0. Что именно означают неограниченные состояния?
Спектр гамильтониана для $1/r$ потенциал содержит как набор дискретных состояний состояний с энергиями $E<0$ (связанный) и континуум состояний с энергиями $E>0$ (несвязанный). (Они аналогичны эллиптическим и гиперболическим орбитам в классической задаче Кеплера.) На больших расстояниях, где потенциал почти незначителен, состояния континуума могут выглядеть почти как собственные состояния плоской волны гамильтониана свободного электрона; однако они сильно искажаются на меньших расстояниях. Несвязанные состояния могут иметь правильные значения углового момента, чтобы внести вклад в сумму.

Артем Александров · Answer 1

Q1 . Существует как минимум два способа расчета поправки 2-го порядка. Позвольте мне сначала набросать идею, а затем предоставить некоторые ссылки. Во-первых, вы должны иметь в виду теорему Фейнмана-Хеллмана,

\frac{\partial ф_{н} (λ)}{\partial λ} "=" ⟨ н | \frac{\partial \hat{ф}}{\partial λ} | н ⟩,

$\frac{\partial f_n(\lambda)}{\partial \lambda}=\left\langle n\right|\frac{\partial \hat{f}}{\partial \lambda}\left| n\right\rangle,$ где

f

$f$ является оператором и

λ

$\lambda$ является параметром. В случае 1s атома водорода вы знаете, что взаимодействие с электрическим полем и это выражение становится

\frac{\partial дельта ϵ}{\partial Е} "=" ⟨ 0 | \frac{\partial ЧАС}{\partial Е} | 0 ⟩,

$\frac{\partial \delta \epsilon}{\partial E}=\langle 0|\frac{\partial H}{\partial E}|0\rangle,$ где

E

$E$ есть электрическое поле. Затем,

\frac{\partial дельта ϵ}{\partial Е} "=" α Е \to дельта ϵ "=" - \frac{α^{2} Е}{2} \to α "=" - \frac{2 дельта ϵ}{Е^{2}}

$\frac{\partial \delta \epsilon}{\partial E}=\alpha E\rightarrow \delta\epsilon=-\frac{\alpha^2E}{2}\rightarrow\boxed{\alpha=-\frac{2\delta\epsilon}{E^2}}$ с

α

$\alpha$ есть поляризация атома. Последнее выражение дает представление о том, как рассчитать эффект Штарка 2-го порядка: вы должны знать поправку 2-го порядка к энергии. Тогда вы знаете, как оценить эту поправку,

дельта ϵ "=" \sum_{н \neq 1} \frac{| ⟨ н | \hat{В} | 1 ⟩ |^{2}}{ϵ_{1}^{(0)} - ϵ_{н}^{(0)}},

$\delta \epsilon=\sum_{n\neq 1}\frac{|\langle n|\hat{V}|1\rangle|^2}{\epsilon_1^{(0)}-\epsilon_n^{(0)}},$ где

\hat{V} = - E \hat{r} \cos θ

$\hat{V}=-E\hat{r}\cos\theta$ (мы задаем электрическое поле в

z

$z$ -направление). Суммировать можно, хотя бы проверить, что сумма сходится. Однако есть более эффективный способ найти

δ ϵ

$\delta\epsilon$ ,

дельта ϵ "=" ⟨ ψ^{(1)} | \hat{В} | ψ^{(0)} ⟩,

$\delta \epsilon = \langle\psi^{(1)}|\hat{V}|\psi^{(0)}\rangle,$ где

ψ^{(1)}

$\psi^{(1)}$ и

ψ^{(0)}

$\psi^{(0)}$ являются скорректированной волновой функцией 1-го порядка и волновой функцией без возмущения. Довольно просто (если вам нужны подробности, я их добавлю) найти, что

ψ^{(1)} "=" \frac{2 Е р}{\sqrt{р}} (1 - \frac{р}{2}) е^{- р} Д_{10} (θ, ф) .

$\boxed{\psi^{(1)}=\frac{2Er}{\sqrt{r}}\left(1-\frac{r}{2}\right)e^{-r}Y_{10}(\theta,\phi).}$ Затем последний шаг - вычислить интеграл (если нужны подробности, я их добавлю), и ответ будет

дельта ϵ "=" - \frac{9 Е^{2}}{4} \to α "=" \frac{9}{2} .

$\delta\epsilon=-\frac{9E^2}{4}\rightarrow\alpha=\frac{9}{2}.$

Есть еще один интересный способ найти поправку 2-го порядка. Кулоновский потенциал имеет дополнительный интеграл движения, вектор Рунге-Ленца. Это означает, что можно разделять переменные не только в сферических координатах, но и в параболических. Подробности можно найти в 3-м томе «Курса теоретической физики» Ландау (параграфы 76, 77).

Ян Маккендрик · Answer 2

Вам необходимо интегрировать R*Y, где R — радиальная волновая функция, а Y — сферическая гармоника с возмущением между ними. если вы просто рассматриваете первое возбужденное состояние и основное состояние, то сумма выпадает, я думаю?

Вопросы об эффекте Штарка на водороде

asdf

Гул

asdf

Гул

Ответы (2)

Артем Александров

Ян Маккендрик

Рассеивающие состояния атома водорода в нерелятивистской теории возмущений

Подразумевает ли теория возмущений первого квантования крупномасштабную паутину запутанности электронов?

Релятивистская поправка к атому водорода - теория возмущений

Резкий эффект на основное состояние водорода

Поправки высшего порядка к водороду и их последствия

Можно ли решить уравнение Шредингера для дейтерия?

Формула Кубо для общих наблюдаемых

Значение углового момента в квантовой механике

магнитный момент протона

В чем преимущество канонического преобразования при получении эффективного гамильтониана?