Всегда ли момент импульса сохраняется в отсутствие внешнего крутящего момента?

Да. Для любой системы частиц верно следующее утверждение:

Если суммарный крутящий момент системы частиц равен нулю и если взаимодействия между частицами системы направлены вдоль соединяющих их линий, то полный угловой момент системы сохраняется.

Доказательство в контексте классической механики приведено ниже.

Для примера с мячом на струне, если вы рассматриваете только мяч, то на шаре есть внешний крутящий момент: момент струны. Одна тонкость заключается в том, что если вы выберете начало координат в качестве центра окружности, вокруг которой он вращается, то в этом случае крутящий момент отсутствует, а угловой момент мяча фактически сохраняется. Однако, если вы выберете другую точку в качестве исходной точки, то вектор положения не всегда совпадает с линией вектора натяжения, и, следовательно, крутящий момент будет ненулевым. Помните, что когда вы вычисляете угловой момент и крутящий момент, вам нужно использовать одно и то же начало координат, чтобы оба они были согласованы.

Для орбитального примера нужно рассматривать систему, состоящую из обеих планет, тогда на эту систему нет внешнего крутящего момента и сохраняется полный угловой момент.

---

доказательство.

Позволять$m_i$обозначают массу частицы$i$и разреши$\mathbf x_i$обозначают положение частицы$i$, то полный угловой момент системы определяется как

$$\mathbf L = \sum_i \mathbf x_i\times\mathbf (m_i \dot{\mathbf x}_i)$$ Взятие производной по времени дает $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\Big(m_i\dot{\mathbf x}_i\times\dot{\mathbf x_i} + \mathbf x_i\times(m_i\ddot{\mathbf{x}}_i)\Big) = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i$$ где $\mathbf F_i$- результирующая сила, действующая на каждую частицу. Теперь разделите силу, действующую на каждую частицу, на чистую внешнюю силу. $\mathbf F_i^e$и чистая сила из-за всех других частиц в системе $$\mathbf F_i = \mathbf F_i^e + \sum_j \mathbf f_{ij}$$ где $\mathbf f_{ij}$обозначает силу, действующую на частицу $i$из-за частицы $j$. Тогда у нас есть $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i^e + \sum_{ij}\mathbf x_i\times\mathbf f_{ij}$$ по третьему закону Ньютона имеем $\mathbf f_{ij} = -\mathbf f_{ji}$что приводит к тому, что последняя сумма обращается в нуль при условии, что взаимодействия между частицами указывают вдоль линий, соединяющих их, мы остаемся с $$\dot{\mathbf L} = \sum_i\mathbf x_i\times\mathbf F_i^e$$ где выражение справа представляет собой чистый внешний крутящий момент системы.

Примечание. Необходимое допущение о том, что взаимодействия между частицами должны быть направлены вдоль соединяющих их линий, часто разумно, потому что в классических механических системах в реальном мире эти силы часто представляют собой кулоновские или гравитационные взаимодействия, обладающие этим свойством.