Можно ли восстановить гамильтониан, зная его волновую функцию основного состояния?

ЕСЛИ вы знаете, что ваш гамильтониан имеет вид

Однако важно отметить, что эта процедура гарантирует, что ваш первоначальный$\Psi_0$будет собственным состоянием полученного гамильтониана, но это не исключает возможности того, что$\hat H$будет допускать отдельное основное состояние с меньшей энергией. В качестве очень яркого примера этого, если$\Psi_0$является одномерной функцией с узлом, то (поскольку одномерные основные состояния не имеют узлов ) вам гарантируется уникальная$V(x)$такой, что$\Psi_0$является собственным состоянием, но оно никогда не будет основным состоянием.

Если вы не знаете, что ваш гамильтониан имеет такую ​​структуру, то (в общем случае) нет никакой информации, которую вы можете извлечь о гамильтониане только из основного состояния.

• В качестве простого примера, не отходя слишком далеко от нашего исходного гамильтониана в$(1)$, считаем, что гамильтониан в полярных координатах,

  $$\hat H=\frac{-\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{\hbar ^2r^2}L^2\right)+V(r),$$ где я предполагаю$V(\mathbf r)=V(r)$сферически симметричен и заключает угловую зависимость в оператор полного углового момента$L^2$.

  Предположим, что я даю вам его основное состояние, и что это собственное состояние$L^2$с нулевым собственным значением (как, например, основное состояние гидрогенного гамильтониана). Как узнать, является ли создавший его гамильтониан$H$или аналогичная версия,

  $$\hat H{}'=\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} +V(r),$$ без составляющей углового момента? Обе версии будут иметь$\Psi_0$как основное состояние (хотя здесь$\hat H'$справедливости ради, будет иметь дикое вырождение на каждом собственном пространстве). Продолжая эту мысль, как насчет $$\hat H{}''=\frac{-\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2\frac{\partial}{\partial r} + f(r)L^2\right)+V(r),$$ где я ввел произвольную вещественную функцию$f(r)$позади углового момента? Это не повлияет на$\ell=0$государств, но остальную часть спектра он унесет неизвестно куда. (На самом деле, вы даже можете добавить произвольную функцию$L_x$,$L_y$а также$L_z$, пока вы на нем.)

• В более общем смысле любой самосопряженный оператор, обращающийся в нуль на$\left|\Psi_0\right>$можно добавить к гамильтониану, чтобы получить оператор, который имеет$\left|\Psi_0\right>$как собственное состояние. В качестве простой конструкции для любого самосопряженного оператора$\hat A$, комбинация

  $$\hat H {}''' = E_0 \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| + \left(\mathbf 1 - \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| \right) \hat A \left(\mathbf 1 - \left|\Psi_0\right>\left<\Psi_0\right| \right)$$ (где коэффициенты в скобках предназначены для изменения$\hat A$исчезнуть в$\left|\Psi_0\right>$и его сопряженное) всегда будет иметь$\left|\Psi_0\right>$как собственное состояние.

Даже если вы знаете все собственные состояния, этой информации недостаточно для восстановления гамильтониана, потому что они не позволяют вам различить, скажем,$\hat H$а также$\hat{H}{}^2$. С другой стороны, если вы знаете все собственные состояния и их собственные значения, вы можете просто использовать спектральное разложение для восстановления гамильтониана.

В общем, если вы действительно настаиваете, вероятно, существует компромисс между тем, что вы знаете о структуре гамильтониана (например, «формы$\nabla^2+V$" по сравнению с полным отсутствием информации) и сколько собственных состояний и собственных значений вам нужно для полной реконструкции (одна пара по сравнению со всем этим), особенно если вы допускаете приблизительные реконструкции. В зависимости от того, где вы поместите один ползунок, вы получить другое чтение на другом.

Однако, если у вас нет конкретной проблемы, которую нужно решить (например, реконструкция гамильтониана смутно известной формы из определенного набора конечных экспериментальных данных), то определенно не стоит исследовать детали этого континуума компромиссов, кроме знания того, что он существуют и крайности, которые я отметил выше.

Предположим для простоты, что все операторы ограничены. Если вы знаете волновую функцию$\psi$связанный с основным состоянием неизвестного гамильтониана$H$, тогда$H$имеет форму

Аналитического доказательства нет, но численные данные свидетельствуют о том, что если вы знаете, что гамильтониан является локальным и удовлетворяет гипотезе термализации собственного состояния (что соответствует большинству локальных гамильтонианов), то вы можете извлечь весь гамильтониан из одного возбужденного собственного состояния, но не из основное состояние: https://arxiv.org/abs/1503.00729 .

Если неизвестная часть гамильтониана является потенциальной$V({\bf{r}})$, то можно написать стационарное уравнение Шредингера и выяснить, каким должен быть потенциал.