Всегда ли собственные функции нормированы и ортогональны?

Я наткнулся на это простое доказательство:

Показано, что эрмитовы операторы имеют действительные собственные значения. Определение эрмитова оператора

(1) ⟨ ф я | А ^ | ф ⟩ "=" ⟨ ф я | А ^ | ф ⟩ *

Тогда, если | ψ ⟩ является собственным вектором А ^ , у нас есть

(2) А ^ | ψ ⟩ "=" λ | ψ ⟩

и поэтому

(3) ⟨ ψ | А ^ | ψ ⟩ "=" λ .

Если А ^ является эрмитовым, мы можем применить (1) так, что

⟨ ψ | А ^ | ψ ⟩ "=" ⟨ ψ | А ^ | ψ ⟩ *
λ "=" λ * .

Чего я не получаю, так это шага от (2) до (3). Мне кажется, это было бы верно, только если бы ψ норм( ⟨ ψ | ψ ⟩ "=" ∫ ψ * ψ г т "=" 1 ).

Верно ли вообще, что собственные векторы/собственные функции операторов нормированы и ортогональны?

@JohnRennie Двойной вопрос касается общих последствий наблюдаемых, соответствующих эрмитовым операторам. Этот вопрос, кажется, требует небольшого технического разъяснения о нормализации собственного вектора.
@SeanBone Собственные векторы определяются просто как ненулевые векторы | ψ ⟩ такой, что А | ψ ⟩ "=" λ | ψ ⟩ . Нет никаких ограничений на нормализацию, и вы можете легко проверить это, если | ψ ⟩ является собственным вектором, то таковым является с | ψ ⟩ для любого ненулевого с . Следовательно, при переходе от (2) к (3) существует неявное предположение, как вы подозреваете. Обычно мы считаем состояния в КМ единичной нормой, но не всегда.
Если волновая функция не нормирована, то предсказания, основанные на ней, будут неверными. Теоретической основы для нормализации нет .

Ответы (2)

Всегда можно наложить свойство ортогональности, но в приведенном вами отрывке оно вовсе не требуется.

Нормализация собственных векторов всегда может быть обеспечена (независимо от того, эрмитов оператор или нет) в силу того, что если А в "=" λ в , то любое кратное ж "=" α в этого вектора будет подчиняться

А ж "=" А α в "=" α А в "=" α λ в "=" λ ж .
Таким образом, для любого собственного вектора любого оператора вы всегда можете предположить (бесплатно), что он нормализован к единице.

Однако это также не обязательно для приведенных вами манипуляций: если вы уберете эту нормализацию, то ваше уравнение ( 3 ) становится

(3') ⟨ ψ | А ^ | ψ ⟩ "=" λ ⟨ ψ | ψ ⟩ ,
в котором λ ⟨ ψ | ψ ⟩ является (по свойствам скалярного произведения) действительным и положительным числом. Остальные манипуляции не затрагиваются: вы получаете
λ ⟨ ψ | ψ ⟩ "=" λ * ⟨ ψ | ψ ⟩
и все, что вам нужно сделать, это разделить на ⟨ ψ | ψ ⟩ .

Всегда можно работать в ортонормированном базисе. По умолчанию мы делаем это при работе с квантовой механикой для удобства.

Обратите внимание, что если А ^ | ψ ⟩ "=" λ | ψ ⟩ , А ^ † | ф ⟩ "=" мю | ф ⟩ затем ⟨ ф | А ^ | ψ ⟩ равно обоим λ ⟨ ф | ψ ⟩ и мю * ⟨ ф | ψ ⟩ , поэтому либо векторы ортогональны, либо λ "=" мю * . Мы даже можем обеспечить ортогональность в этом особом случае с помощью изменения базиса, называемого процессом Грама-Шмидта . Наконец, мы можем масштабировать собственные векторы, чтобы иметь единичную норму. Это позволяет получить такие удобные результаты, как идентификатор "=" ∑ я | я ⟩ ⟨ я | так что | Ψ ⟩ "=" ∑ я ⟨ я | Ψ ⟩ | я ⟩ .

Всегда ли собственные функции нормированы и ортогональны?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v