Как выбирается «нормализация» ненормируемых состояний?

уравнение (2) не определяется однозначно, говоря, что$\lvert x\rangle$являются «собственными состояниями положения», что для начала является плохой терминологией, поскольку на самом деле они не являются допустимыми состояниями , поскольку состояния по определению принадлежат гильбертовому пространству и должны быть нормализуемы. Их правильное рассмотрение требует понятия оснащенных гильбертовых пространств .

Однако,$\delta(x-x')$это просто условие "основы"$\lvert x\rangle$быть ортонормированным, т.е. (2) налагается , а не выводится из чего-либо. Обратите внимание, что эта форма «внутреннего продукта» подразумевает

$$1 = \int \lvert x\rangle\langle x\rvert\mathrm{d}x,$$ Итак $\lvert x\rangle$разрешить тождество в обобщении так, как это делает обычный счетный ортономический базис, как $1 = \sum_n \lvert\psi_n\rangle\langle\psi_n\rvert$. Таким образом, именно полнота и ортонормированность дают уравнение. (2).

Используя современную квантовую механику Сакураи в качестве основы для этого ответа, прежде чем рассматривать это в непрерывной системе, может быть полезно сначала взглянуть на это в дискретной системе:

Для собственных состояний некоторого оператора$\hat{A}$,$\mid a'\rangle$и$\mid a''\rangle$, такой, что$\hat{A}\mid a'\rangle = a'\mid a'\rangle$и$\hat{A}\mid a''\rangle = a''\mid a'\rangle$дает уравнение$\left(a' - a''\right)\left\langle a''\mid a'\right\rangle = 0$

Итак, мы хотим, чтобы собственный базис был ортонормированным, т.е.$\left\langle a'\mid a'\right\rangle = 1$и$\left\langle a''\mid a'\right\rangle = 0$для$a'' \neq a'$. К счастью, это также определение дельты Кронекера:$\left\langle a''\mid a'\right\rangle = \delta_{a', a''}$

Предполагая, что все пространство натянуто на этот собственный базис, теперь у нас есть полный базис.

Теперь, распространяя это на непрерывную систему, дельта-функция Дирака является непрерывной версией дельты Кронекера — см., например, этот вопрос , поэтому вполне логично и интуитивно заменить дельту Кронекера в дискретных системах дельта-функцией Дирака. Да, использование дельты Кронекера в первую очередь - это просто соглашение, которое дает полноту состояний (как вы сказали), но если оно не нарушено...

Теперь в непрерывной системе мы имеем, что тождество равно$1 = \int dx\, \mid x\rangle\langle x\mid$, давая$\left\langle x'\mid x''\right\rangle = \int dx\, \left\langle x'\mid x\rangle\langle x\mid x''\right\rangle$и поэтому дельта-функция Дирака соответствует этому.