Выбор крепления манометра для поля манометра A0A0A_0

Условие «фиксация манометра»$A_0=0$называется временной калибровкой или калибровкой Вейля, см. следующую страницу Википедии ). Это условие является лишь частичным условием фиксирования калибровки, потому что лагранжиан Янга-Миллса остается калибровочно инвариантным при не зависящих от времени калибровочных преобразованиях:

$A_i \to g A_i g^{-1} - \partial_i g g^{-1}, i=1,2,3$

с$g$не зависит от времени.

Однако это еще не все: производная по времени от$A_0$не появляется в лагранжиане Янга-Миллса. Таким образом, это не динамическая переменная. Это просто множитель Лагранжа. Его уравнение движения — это всего лишь закон Гаусса:

$\nabla.E=0$.

Нельзя получить это уравнение, задав$A_0 = 0$. Поэтому его нужно добавить в качестве ограничения и потребовать, чтобы оно исчезало при каноническом квантовании физических состояний. (По этой причине это называется ограничением по закону Гаусса).

I) Давайте выберем следующее соглашение

для неабелева калибровочного преобразования. Для конкретности предположим, что калибровочная группа$G$либо$U(N)$или$SU(N)$.

II) Тогда вопрос ОП становится

Существует ли глобально определенное калибровочное преобразование$g\in G$так что$A^{\prime}_0=0$?

Или, что то же самое,

Существует ли глобально определенная временная шкала?

Ответ: Да, выберите, например, следующее калибровочное преобразование как упорядоченную по времени линию Вильсона .

(Есть аналогичная формула для$t\leq 0$.) Это возможно, если правая часть хорошо определена, т. е. если прежний временной калибровочный потенциал$A_0$интегрируема по времени.

В дополнение к предыдущим ответам, это совершенно очевидно в калибровочной теории решетки. Это показывает, что осевой и временной калибры хорошо определены, а также дает полное предписание по фиксации калибра, устраняя остаточные неоднозначности калибра. Это решетчатая версия ответа Qmechanic и Бар-Моше.

На решетке есть групповой элемент для каждого звена решетки. Существует свобода умножения на элемент группы в любой точке. Таким образом, чтобы полностью исправить датчик, все, что вам нужно сделать, это выбрать уникальный путь к этой точке из некоторой начальной позиции, и это даст вам уникальный элемент группы в каждой точке, на который нужно умножить.

Сделайте эту позицию исходной и определите путь следующим образом:

следовать по оси x к координате x точки, затем следовать параллельно оси y к координатам x, y точки (все еще при z=0 t=0), затем следовать параллельно оси z к правильному z, затем параллельно оси t. Умножение всех элементов группы в порядке их появления. Затем поверните эту матрицу в этой точке.

Это устанавливает элемент калибровочной группы в t-направлении равным единице, это эквивалентно установке нулевого калибровочного поля континуума. Он также устанавливает калибровочное поле в направлении z равным нулю на поверхности t = 0, он устанавливает калибровочное поле в направлениях y и z равным нулю на плоскости xy и все калибровочное поле равным нулю вдоль оси x. .

Это полная и непертурбативная фиксация решеточной калибровки, она оставляет ненарушенной только глобальную калибровочную группу. Это соответствует осевому датчику, потому что он находится в мнимом времени, но эвристическая фиксация временного датчика без регулятора идентична объяснению Qmechanic, и нет никаких принципиальных проблем (хотя, как сказал Бар Моше, вы должны быть осторожны чтобы не отбрасывать уравнения связи движения, возникающие при изменении калибровочным полем направлений, нарушающих калибровочное условие).