Калибровочная фиксация произвольного поля: внешние и внутренние степени свободы

В этом ответе мы подводим итоги. Сам анализ можно найти в учебниках, см., например, Refs. 1 и 2.

$\downarrow$Таблица 1: Безмассовое вращение$j$поле в$D$размерности пространства-времени.

$$\begin{array}{ccc} \text{Massless}^1 & \text{Off-shell DOF}^2 & \text{On-shell DOF}^3 \cr j=0 & 1 & 1 \cr j=\frac{1}{2} & n & \frac{n}{2} \cr j=1 & D-1 & D-2 \cr j=\frac{3}{2} & n(D-1) & \frac{n}{2}(D-3) \cr j=2 & \frac{D}{2}(D-1) & \frac{D}{2}(D-3) \cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \text{Integer spin }j\in\mathbb{N}_0 & \begin{pmatrix} D+j-2 \cr D-2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} D+j-5 \cr D-2 \end{pmatrix}& \begin{pmatrix} D+j-4 \cr D-4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} D+j-5 \cr D-4 \end{pmatrix}\cr \text{Integer spin }D=4 & j^2+2 & 2-\delta^j_0 \cr \text{Integer spin }D=5 & \frac{1}{6}(2j+1)(j^2+j+6) & 2j+1\cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \text{Half-int. spin }j\in\mathbb{N}_0+\frac{1}{2} & n\begin{pmatrix} D+j-\frac{5}{2} \cr D-2 \end{pmatrix}+ n\begin{pmatrix} D+j-\frac{9}{2} \cr D-2 \end{pmatrix}& \frac{n}{2}\begin{pmatrix} D+j-\frac{9}{2}\cr D-4 \end{pmatrix} \cr \text{Half-int. spin }D=4 &n(j^2+\frac{3}{4}) &\frac{n}{2} \cr \text{Half-int. spin }D=5 &\frac{n}{6}(2j+1)(j^2+j+\frac{9}{4}) &\frac{n}{4}(2j+1) \cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \end{array}$$

$^1$Для массивных мультиплетов поднимитесь на 1 пространственно-временное измерение, т.е. измените$D\to D+1$(без изменения номера$n$спинорных компонентов). Например, глубина резкости на оболочке для массивных 4D-полей, как известно, имеет коэффициент$2j+1$, ср. ряд$D=5$в таблице 1.

$^2$DOF вне оболочки = # (компоненты) - # (калибровочные преобразования).

$^3$Степень свободы на оболочке = # (состояния спиральности) = (классическая степень свободы)/2, где классическая степень свободы = # (начальные условия).

$n$=# (спинорные компоненты). Например, спинор Дирака имеет$n=2^{[D/2]}$сложные компоненты, в то время как майорановский спинор имеет$n=2^{[D/2]}$реальные компоненты,

$\downarrow$Таблица 2: Антисимметричный$p$-формировать калибровочный потенциал в$D$пространственно-временные измерения,$p\in\mathbb{N}_0$.

$$\begin{array}{ccc} p\text{-form gauge potential}& \text{Off-shell DOF} & \text{On-shell DOF} \cr & \begin{pmatrix} D-1 \cr p \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} D-2 \cr p \end{pmatrix} \cr \end{array}$$

Использованная литература:

1. Д. З. Фридман и А. Ван Пройен, SUGRA, 2012.

2. H. Nastase, Intro to SUGRA, arXiv:1112.3502 ; глава 5.

Может быть, это будет именно ответ на ваш вопрос.

Поля удобно классифицировать с помощью вигнеровской классификации представления группы Пуанкаре. Сначала предположим только безмассовый случай. В этом случае нет массового оператора Казимира$\hat {P}^{2}$и оператор спина Казимира$\hat {W}^{2}$, но оператор Паули-Любанского пропорционален 4-импульсному оператору с множителем$\hat {h} = \frac{(\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf p})}{|\mathbf p|}$что называется спиральностью. Это инвариантный оператор (для безмассовых полей), поэтому по нему можно классифицировать поля. Состояние с фиксированной спиральностью может быть связано только с состоянием с противоположной спиралью; это возможно, если теория инвариантна относительно пространственных инверсий. Так что для безмассового поля произвольного спина есть только две (максимальные) степени свободы. При такой интерпретации вы можете понимать процедуру фиксации калибровки только как критерий неприводимости (масса-нуль) представления (группы Пуанкаре) поля, а ответ на ваш вопрос о подсчете степеней свободы всегда равен двум.

Для лучшего понимания того, как фиксация калибровки уменьшает число свободы, давайте предположим массивный спин-$s$случай. Воспользуемся условиями неприводимости $(1)-(4)$для этого. Они оставляют только$2s + 1$степеней свободы (вначале были$4^{s}$компоненты). После этого зададим массу$m$в$(1)$до нуля. Тогда условие$(2)$сократит дополнительные степени свободы.

Например, одно поле спина:

Давайте установим$m$до нуля. Тогда следует дополнительная калибровочная свобода, и мы можем положить$u^{\mu}A_{\mu} = 0$для произвольного времяподобного 4-вектора$u_{\mu}$. Это уменьшает количество степеней свободы на одну. Это возможно, потому что есть преобразования$A_{\mu} \to A_{\mu} + \partial_{\mu} f$, который может удовлетворять первому уравнению$(5)$. Таким образом, мы получаем две степени свободы.

Спин-два поля:

Давайте установим$m$до нуля. Тогда мы можем установить$u_{\mu}A^{\mu \nu} =0$, что сократит дополнительные 3 степени свободы (четвертая равна одной из$\partial_{\mu}A^{\mu \nu} = 0$, так что мы снова получаем 2 степени. Это возможно, потому что существуют калибровочные преобразования$A_{\mu \nu} \to A_{\mu \nu} + \partial_{\mu} f_{\nu} + \partial_{\nu} f_{\mu}$который может удовлетворять первому уравнению$(5)$.