Вычисление тока вероятности для задачи рассеяния

Question

Вычисление тока вероятности для задачи рассеяния

Вустер

Я пытаюсь рассчитать ток вероятности для задачи рассеяния. Потенциал $V = V_0 > 0$ в $x>0$ , с $E>V_0$

Так у меня в районе $x \le 0$ :

ψ "=" опыт (я к Икс) + р опыт (- я к Икс)

$\psi = \exp(ikx) + R \exp(-ikx)$

И в $x>0$

ψ "=" Т опыт (я κ Икс)

$\psi = T \exp(i \kappa x)$

Я пытаюсь рассчитать ток вероятности, $j = \frac{-ih}{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)$ , в каждом регионе и показать, что они равны.

Однако, когда я вычисляю ток вероятности в $x<0$ , Я получил:

\bar{ψ} "=" опыт (- я к Икс) + \bar{р} опыт (я к Икс)

$\bar{\psi} = \exp(-ikx) + \bar{R}\exp(ikx)$

ψ^{'} "=" я к опыт (я к Икс) - я к р опыт (- я к Икс)

$\psi' = ik\exp(ikx) -ikR\exp(-ikx)$

\bar{ψ^{'}} "=" - я к опыт (- я к Икс) + я к \bar{р} опыт (я к Икс)

$\bar{\psi'} = -ik\exp(-ikx) + ik\bar{R}\exp(ikx)$

ψ "=" опыт (я к Икс) + р опыт (- я к Икс)

$\psi = \exp(ikx) + R\exp(-ikx)$

Так:

\bar{ψ} ψ^{'} "=" я к - я к р опыт (- 2 я к Икс) + \bar{р} я к опыт (2 я к Икс) - я к р \bar{р}

$\bar{\psi} \psi' = ik -ikR\exp(-2ikx) + \bar{R}ik\exp(2ikx) - ikR\bar{R}$

{\bar{ψ}}^{'} ψ "=" - я к - я к р опыт (- 2 я к Икс) + я к \bar{р} е Икс п (2 я к Икс) + я к р \bar{р}

$\bar{\psi}' \psi = -ik -ikR\exp(-2ikx) +ik\bar{R}exp(2ikx) +ik R\bar{R}$

Следовательно,

Дж "=" \frac{час к}{2 м} (1 + р опыт (- 2 я к Икс) - \bar{р} опыт (2 я к Икс) - р \bar{р})

$j = \frac{hk}{2m} (1 + R \exp(-2ikx) - \bar{R} \exp(2ikx) - R\bar{R})$

И в регионе $x>0$ :

Дж "=" \frac{κ час}{2 м} (Т \bar{Т})

$j = \frac{\kappa h}{2m}(T\bar{T})$ .

Я могу показать это (наложив условия непрерывности на границе):

к (1 - | р |^{2}) "=" κ | Т |^{2}

$k(1-|R|^2) = \kappa |T|^2$

Поэтому я ожидаю, что первый ток вероятности будет просто: $\frac{kh}{2m}(1-|R|^2)$ .

Любая помощь в этом вопросе очень ценится! Я почти уверен, что где-то делаю какую-то глупую ошибку, но это очень расстраивает, потому что я не могу ее найти!

Спасибо

Андрей

Хм, а вы уверены, что рассчитали свой ток вероятности для

x \leq 0

$x\leq 0$ правильно? Ваша формула для тока имеет вид

- i (z - z^{*})

$-i(z-z^*)$ для комплекса

z

$z$ (

z = \bar{ψ} ψ^{'}

$z=\bar{\psi}\psi'$ ), который является мнимой частью

z

$z$ и, таким образом, явно реален. Однако ваше выражение для тока вероятности сложное. Таким образом, эти два выражения несовместимы.

Вустер

Да это моя проблема! Но я не вижу, где я ошибаюсь, когда вычисляю это? Я почти уверен, что это просто досадная алгебраическая ошибка.

Андрей

Мне кажется, вы записали

\bar{ψ} ψ^{'}

$\bar{\psi}\psi'$ и назвал это

j

$j$ , без вычитания комплексного сопряжения. Например,

\bar{ψ} ψ^{'}

$\bar{\psi}\psi'$ есть термин, который

h k / 2 m

$hk/2m$ , но когда вы вычитаете

ψ {\bar{ψ}}^{'}

$\psi\bar{\psi}'$ этот срок будет отменен.

Вустер

Хм, спасибо за помощь. Почему должен

\bar{ψ} ψ^{'}

$\bar{\psi} \psi'$ есть такие условия? Я добавил немного больше деталей к тому, как я вычисляю

j

$j$ на вопрос

Андрей

Ток вероятности пропорционален

I m (\bar{ψ} ψ^{'})

${\rm Im}(\bar{\psi}\psi')$ (если эта часть непонятна, потратьте некоторое время на ее понимание). Так что возьмите ваши выражения для

\bar{ψ}

$\bar{\psi}$ и

ψ^{'}

$\psi'$ , которые верны, перемножить их и вычислить действительную и мнимую части в явном виде. Сейчас вы их просто умножаете, не разделяя на действительную и мнимую части.

Вустер

Эта часть мне действительно не ясна. Является ли мое определение вероятности текущим (

j = \frac{- i h}{2 m} (\bar{ψ} ψ^{'} - \bar{ψ^{'}} ψ)

$j = \frac{-ih}{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)$ ) неправильно?

Андрей

Продолжим обсуждение в чате .

Ответы (1)

Вычисление тока вероятности для задачи рассеяния

Хм, а вы уверены, что рассчитали свой ток вероятности для $x\leq 0$ правильно? Ваша формула для тока имеет вид $-i(z-z^*)$ для комплекса $z$ ( $z=\bar{\psi}\psi'$ ), который является мнимой частью $z$ и, таким образом, явно реален. Однако ваше выражение для тока вероятности сложное. Таким образом, эти два выражения несовместимы.
Да это моя проблема! Но я не вижу, где я ошибаюсь, когда вычисляю это? Я почти уверен, что это просто досадная алгебраическая ошибка.
Мне кажется, вы записали $\bar{\psi}\psi'$ и назвал это $j$ , без вычитания комплексного сопряжения. Например, $\bar{\psi}\psi'$ есть термин, который $hk/2m$ , но когда вы вычитаете $\psi\bar{\psi}'$ этот срок будет отменен.
Хм, спасибо за помощь. Почему должен $\bar{\psi} \psi'$ есть такие условия? Я добавил немного больше деталей к тому, как я вычисляю $j$ на вопрос
Ток вероятности пропорционален ${\rm Im}(\bar{\psi}\psi')$ (если эта часть непонятна, потратьте некоторое время на ее понимание). Так что возьмите ваши выражения для $\bar{\psi}$ и $\psi'$ , которые верны, перемножить их и вычислить действительную и мнимую части в явном виде. Сейчас вы их просто умножаете, не разделяя на действительную и мнимую части.
Эта часть мне действительно не ясна. Является ли мое определение вероятности текущим ( $j = \frac{-ih}{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)$ ) неправильно?

RE60K · Answer 1

Ты говоришь

Дж "=" \frac{час к}{2 м} (1 + р опыт (- 2 я к Икс) - \bar{р} опыт (2 я к Икс) - р \bar{р})

$j = \frac{hk}{2m} (1 + R \exp(-2ikx) - \bar{R} \exp(2ikx) - R\bar{R})$ Но вместо этого

$Дж "=" \frac{- я ℏ}{2 м} (\bar{Ψ} Ψ^{'} - {\bar{Ψ}}^{'} Ψ) "=" \frac{- я час}{4 π м} (\bar{Ψ} Ψ^{'} - {\bar{Ψ}}^{'} Ψ)$ $j=\frac{-i\hbar}{2m}(\bar\Psi\Psi'-\bar\Psi'\Psi)=\frac{-ih}{4\pi m}(\bar\Psi\Psi'-\bar\Psi'\Psi)$

В $x<0$ ,

\bar{ψ} ψ^{'} "=" я к - я к р опыт (- 2 я к Икс) + \bar{р} я к опыт (2 я к Икс) - я к р \bar{р}

$\bar{\psi} \psi' = ik -ikR\exp(-2ikx) + \bar{R}ik\exp(2ikx) - ikR\bar{R}$

{\bar{ψ}}^{'} ψ "=" - я к - я к р опыт (- 2 я к Икс) + я к \bar{р} е Икс п (2 я к Икс) + я к р \bar{р}

$\bar{\psi}' \psi = -ik -ikR\exp(-2ikx) +ik\bar{R}exp(2ikx) +ik R\bar{R}$

Так

Дж "=" \frac{- я ℏ}{2 м} (\bar{ψ} ψ^{'} - \bar{ψ^{'}} ψ) "=" \frac{- я ℏ}{2 м} (2 я к - 2 я к р \bar{р}) "=" \frac{- я ℏ}{2 м} .2 я к (1 - 1 р \bar{р}) "=" \frac{час к}{2 π м} (1 - | р |^{2})

$j = \frac{-i\hbar }{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)=\frac{-i\hbar}{2m} (2ik-2ikR\bar R)=\frac{-i\hbar}{2m} .2ik(1-1R\bar R)=\frac{hk}{2\pi m}(1-|R|^2)$ . И в

x > 0

$x>0$ ,

ψ "=" Т опыт (я к Икс)

$\psi=T\exp(ikx)$

\bar{ψ} ψ^{'} "=" я к \bar{Т} Т

$\bar{\psi} \psi' = ik\bar TT$

{\bar{ψ}}^{'} ψ "=" - я к \bar{Т} Т

$\bar{\psi}' \psi = -ik\bar TT$

Дж "=" \frac{- я ℏ}{2 м} (\bar{ψ} ψ^{'} - \bar{ψ^{'}} ψ) "=" \frac{- я ℏ}{2 м} (2 я к \bar{Т} Т) "=" \frac{- я ℏ}{2 м} 2 я к (| Т |^{2}) "=" \frac{час к}{2 π м} (| Т |^{2})

$j=\frac{-i\hbar }{2m} (\bar{\psi}\psi' - \bar{\psi'}\psi)=\frac{-i\hbar }{2m} (2ik\bar TT)=\frac{-i\hbar }{2m} 2ik(|T|^2)=\frac{hk}{2\pi m}(|T|^2)$

Ваша ошибка была просто вычитанием двух

Отметьте это как правильный ответ, если считаете, что он решил вашу проблему
Извините, я забыл принять, я не провожу так много времени на этом сайте!
Небольшая тонкость: когда человек, задающий вопрос, «принимает» ответ, это НЕ приравнивается к ПРАВИЛЬНОМУ ответу. В данном случае вполне может быть, но не путайте два....
Извините, @Floris, я понимаю, что вы имели в виду под принятым ответом и правильным ответом, кстати, английский не мой родной язык, я индиец
@Aditya - не нужно извиняться. Английский тоже не мой родной язык! На Meta есть несколько интересных дискуссий о том, что человек, который задает ответ, вероятно, не имеет права знать, какой из диапазона ответов является «правильным» — они просто отмечают тот, который они считают «наиболее полезным». Когда вы приходите в архивы Stackexchange за мудростью, вы должны помнить об этом...

Вычисление тока вероятности для задачи рассеяния

Вустер

Андрей

Вустер

Андрей

Вустер

Андрей

Вустер

Андрей

Ответы (1)

RE60K

RE60K

Вустер

Флорис

RE60K

Флорис

Квантовая задача рассеяния в анизотропной среде

Полюса для частицы, рассеянной в дельта-потенциале

Фазовый сдвиг одномерного рассеяния (конечная яма) — нефизический?

Расчет вероятности передачи волновой функции между двумя дельта-распределениями

Квантовая механика - потенциальная ступенчатая проблема

Какова энергия гауссовского волнового пакета?

Эффект квантового туннелирования в потенциале вида V(x)=Ax21+x4V(x)=Ax21+x4V(x)=A\frac{x^2}{1+x^4} [закрыто]

Туннелирование и передача

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Столкновения s-волн, p-волн или d-волн в теории рассеяния