Эффект квантового туннелирования в потенциале вида V(x)=Ax21+x4V(x)=Ax21+x4V(x)=A\frac{x^2}{1+x^4} [закрыто]

Вот не очень умный ответ.

График функции показан ниже.

Красная линия обозначает энергию туннелируемой частицы, выраженную в единицах А. Черная линия обозначает максимальное значение потенциала, равное А/2.

Задача состоит в том, чтобы оценить коэффициент прохождения частицы через один из выступов потенциала.

Согласно ВКБ-аппроксимации коэффициент туннельного прохождения через заданный барьер определяется выражением .

Чтобы вычислить интеграл, Тейлор расширит квадратный корень в уравнении 1 вокруг точки x = 1. И получится (для 0 <c <0,5).

Теперь пределы интеграла определяются точками, в которых линия U(x) = cA (Энергия частицы) пересекает выступы кривой. Интеграл квадратного корня в уравнении 1 должен быть оценен между этими точками, потому что квадратный корень даст мнимые числа во всех других точках. Чтобы получить значения x, при которых прямая U(x) = cA пересекает выступы, необходимо решить уравнение полинома 4-й степени.

Четыре корня даны

Два из этих корней/пересечений находятся на выступе слева, а два других - на выступе справа. Поскольку нас интересуют точки пересечения только на одном из выступов, мы выбираем только положительные корни, которые соответствуют пересечению U(x) на правом выступе.

Приведенные выше значения в уравнении 5 становятся пределами интеграла в уравнении (1).

Теперь, чтобы завершить задачу, нужно проинтегрировать все члены уравнения 2 по x и подставить пределы интеграла, заданного в уравнении 5, что является рутинной (и все же утомительной) задачей. Результат можно подставить в уравнение 1, чтобы получить коэффициент передачи.

Я считаю, что процесс упрощается, если известно c. Общее уравнение для всех значений c (c < 0,5) становится довольно большим и запутанным.

Литература: 1. Мессия А. (1991), "Quantenmechanik 1", Degruyter , 1991.

2. Г. Сквайрс, (1995). «Проблемы квантовой механики», Cambridge University Press , Кембридж, Великобритания.

Для вычисления коэффициента передачи можно использовать первую поправку в ВКБ-приближении. Игнорируя константы, которые мы можем вынести за пределы интеграла, мы, по сути, сталкиваемся с проблемой интегрирования,

$$I(x) = \int \mathrm dx \, \sqrt{V(x)-E}.$$

Таким образом, в случае вашего потенциала мы имеем,

$$I(x) = \sqrt{E}\int \mathrm dx \, \sqrt{\frac{Cx^2}{1+x^4}-1}$$

где$C := A/E$. Теперь мы можем применить обобщенную биномиальную теорему для расширения квадратного корня, используя символ Похгаммера${}_rP_k$, получение,

$$\sqrt{\frac{Cx^2}{1+x^4}-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k {}_{1/2}P_k}{k!}C^{1/2-k} \left(\frac{x^2}{1+x^4} \right)^{1/2-k}.$$

Теперь мы можем интегрировать общий член по$x$, что дает гипергеометрическую функцию. Возможны дальнейшие упрощения для случаев$x>0$и$x<0$. Это приводит к,

$$I(x) = \mathrm{sgn}(-x)\frac{\sqrt{E}}{4}\sum_{k=0}^\infty i^{k+1}\frac{(-1)^k {}_{1/2}P_k}{k!}C^{1/2-k} B \left(-x^4; \frac{1-k}{2},\frac{1+k}{2} \right)$$

где$B(z;a,b)$неполная бета-функция. Если$x_1$и$x_2$обозначают две классические поворотные точки, тогда мы имеем это,

$$T = \exp \left[ -2 \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}[I(x_2)-I(x_1)]\right] \left( 1 + \frac14 \exp \left[ -2 \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}[I(x_2)-I(x_1)]\right]\right)^{-2}.$$