Нормальный порядок тождественного оператора

Комментарии к вопросу:

1. Под символом заказа (например, обычный заказ $:\ldots:$, время заказа$T(\ldots)$, радиальное упорядочение${\cal R}(\ldots)$и т. д.) все операторы (супер)коммутируют, например

   $$: \hat{A}\hat{B}: ~=~ (-1)^{|\hat{A}||\hat{B}|}: \hat{B}\hat{A}:,$$ даже если (супер)коммутатор$[\hat{A},\hat{B}]\neq 0$не исчезает.

2. Упорядочивание одного элементарного (= не составного) оператора (такого, например,$\hat{a}$,$\hat{a}^{\dagger}$,${\bf 1}$и т. д.) является лишним.

Вы можете проверить мой ответ на связанный пост, который дает аксиоматическое определение нормального порядка как функции, определенной на свободной алгебре, порожденной операторами создания и уничтожения. Согласно этой формулировке${:}1{:} = 1$. Там же объясняется, как разрешаются парадоксы, связанные с нормальным порядком. Утверждение «математическое ожидание нормального порядка любого оператора (в том числе тождественного) в вакууме равно нулю» согласно этой формулировке ложно. Это согласуется с уравнением. (82) в известной статье Делфа и Шёллера «Бозонизация для начинающих и референизация для экспертов» [Ann. физ. 7 , 225 (1998)], что подразумевает$\langle{:}e^{i\phi}{:}\rangle = 1$.