Вывод канонического тензора энергии-импульса

В «Математике для физики камня и Голдбарта» канонический тензор энергии-импульса выводится по принципу действия следующим образом.

К действию формы

$$S=\int \mathcal{L}(\varphi,\varphi_\mu) \, \mathrm{d}^{d+1}x ,$$

где$\mathcal{L}$плотность лагранжигана и$\varphi_\mu = \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$то есть, мы делаем вариацию формы

$$\varphi(x) \rightarrow \varphi(x^\mu + \varepsilon^\mu(x)) = \varphi (x^\mu) + \varepsilon^\mu(x)\partial_\mu\varphi+O(|\varepsilon|^2) ,$$ где $x=(x^0,...,x^d)$является.

Тогда результирующая вариация

$$\delta S= \int \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi} \varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \partial_\nu(\varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi) \right)\mathrm{d}^{d+1}x$$ $$= \int \varepsilon^\mu \frac{\partial}{\partial x^\nu} \left( \mathcal{L} \delta^\nu_\mu -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \partial_\mu \varphi \right)\, \mathrm{d}^{d+1}x.$$

Я так понимаю, что от строки 1 до строки 2 делается какая-то интеграция по частям. Однако, когда я пытаюсь это сделать, я сталкиваюсь с некоторыми проблемами и не получаю вторую строку. Может ли кто-нибудь сделать это явно, чтобы я узнал, где я сделал ошибку.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Мои шаги

$$\delta S=\int_\Omega \frac{\delta S}{\delta \varphi(x)} \mathrm{d}\Omega,$$ где $\Omega$быть интегрированным регион.

$$=\int_\Omega \delta\varphi\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \right) \mathrm{d}\Omega$$

$$=\int_\Omega \varepsilon^\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \right) \mathrm{d}\Omega \qquad \because \delta\varphi= \varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi$$

$$=\int_\Omega \varepsilon^\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu}\cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu} \right) \mathrm{d}\Omega$$

Теперь я могу вытащить$\partial_\nu$однако$\partial_\nu$действует только на$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu}$а не на$\frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$. я думал$\partial_\nu\frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$может быть равно нулю, чтобы я мог взять частную производную за скобки, но я не понимаю, почему это должно быть правдой. Если я уберу его, я приду к уравнению во второй строке выше.