Скалярное поле в искривленных пространствах

Question

Скалярное поле в искривленных пространствах

Физика
теория поля
Нётер-теорема
лагранжев формализм
домашнее задание-и-упражнения
стресс-энергия-импульс-тензор

гертианский

Как найти тензор энергии-импульса как заряд Нётер для трансляций в искривленных пространствах. Это все еще должно существовать, поскольку действие все еще является интегралом по пространству, так что оно инвариантно относительно переводов, верно?

Попытка решения

Наш лагранжиан будет иметь вид: $\mathcal{L} = \mathcal{L}[\phi, \partial_\mu \phi]$ и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

\frac{\partial л}{\partial ф} - \nabla_{мю} \frac{\partial л}{\partial \partial_{мю} ф} "=" 0

$\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \nabla_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi} = 0$

1) Чтобы получить заряд Нётер, мы должны потребовать, чтобы вариация на оболочке $\mathcal{L}$ действительно является поверхностным термином, мы находим, что:

дельта л "=" \frac{\partial л}{\partial ф} дельта ф + \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial \partial_{мю} ф} дельта ф) - \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial \partial_{мю} ф}) дельта ф

$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta \phi + \partial_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi}\delta \phi) - \partial_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi})\delta \phi$ Две частные производные во втором и третьем членах могут быть преобразованы в ковариантные производные, поскольку дополнительные символы Кристоффеля сокращаются. После этого мы обнаруживаем, что первый и третий члены сокращаются из-за уравнений движения, так что мы получаем:

дельта л "=" \nabla_{мю} (\frac{\partial л}{\partial \partial_{мю} ф} дельта ф)

$\delta \mathcal{L} = \nabla_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi}\delta \phi)$

2) Мы также должны изучить изменение лагражиана из-за изменения полей, эти изменения:

$x^\mu \rightarrow x^\mu + \epsilon^\mu$ такой, что $\phi \rightarrow \phi + \epsilon^\mu \partial_\mu \phi$ поэтому мы находим, что (для свободного скаляра):

дельта л "=" - \partial_{мю} ф \partial^{мю} дельта ф

$\delta \mathcal{L} = -\partial_\mu \phi \partial^\mu \delta \phi$

"=" - \partial_{мю} ф \partial^{мю} (ϵ^{κ} \partial_{κ} ф)

$=-\partial_\mu \phi \partial^\mu(\epsilon^\kappa \partial_\kappa \phi)$

"=" ϵ^{κ} \partial_{κ} (- 1 / 2 \partial_{мю} ф \partial^{мю} ф) "=" ϵ^{κ} \partial_{κ} (л)

$=\epsilon^\kappa \partial_\kappa(-1/2 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi) = \epsilon^\kappa \partial_\kappa(\mathcal{L})$

3) Следующим шагом обычно является утверждение, что $j_\mu$ = (1) - (2) сохраняется $(\nabla_\mu J^\mu = 0)$ но я не могу найти способ переписать (2) так, чтобы он содержал только ковариантные производные. Я думаю, что я где-то ошибся в своем выводе пункта 2, но я не могу понять это...

Любая помощь будет принята с благодарностью! :)

Ответы (3)

Скалярное поле в искривленных пространствах

Косм · Answer 1

Течение Нётер локальной трансляционной симметрии (= инвариантность диффеоморфизма) в искривленном пространстве-времени действительно является тензором энергии-импульса. Чтобы вывести его, вспомните, что бесконечно малое преобразование координат, $x^m\rightarrow x^m+\epsilon^m$ , индуцирует преобразование метрического тензора, $g^{mn}\rightarrow g^{mn}+\nabla^m\epsilon^n +\nabla^n\epsilon^m$ ( $\nabla^m$ = ковариантная производная).

Варьируйте действие относительно метрики и ее производной.

\begin{matrix} (1) & дельта С "=" дельта \int г^{4} Икс \sqrt{- г} л "=" \int г^{4} Икс [\frac{\partial \sqrt{- г} л}{\partial г^{м н}} дельта г^{м н} + \frac{\partial \sqrt{- г} л}{\partial (\partial_{п} г^{м н})} дельта (\partial_{п} г^{м н})] . \end{matrix}

$\delta S=\delta\int d^4x\sqrt{-g}\mathcal{L}=\int d^4x\left[ \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}\delta g^{mn}+\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\delta(\partial_p g^{mn}) \right].\tag{1}$

Проинтегрируем по частям второй член в $(1)$ , затем

\begin{matrix} (2) & дельта С "=" \int г^{4} Икс [\frac{\partial \sqrt{- г} л}{\partial г^{м н}} - \partial_{п} (\frac{\partial \sqrt{- г} л}{\partial (\partial_{п} г^{м н})})] дельта г^{м н} "=" \end{matrix}

$\delta S=\int d^4x\left[ \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}-\partial_p\left(\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\right) \right]\delta g^{mn}= \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & "=" \int г^{4} Икс \sqrt{- г} Т_{м н} \nabla^{м} ϵ^{н} \end{matrix}

$=\int d^4x\sqrt{-g}\;T_{mn}\nabla^m\epsilon^n \tag{3}$

где на последнем шаге я использовал $\delta g^{mn}=\nabla^m\epsilon^n +\nabla^n\epsilon^m$ и определенный тензор энергии-импульса $T_{mn}$ как

\frac{1}{2} \sqrt{- г} Т_{м н} \equiv \frac{\partial \sqrt{- г} л}{\partial г^{м н}} - \partial_{п} (\frac{\partial \sqrt{- г} л}{\partial (\partial_{п} г^{м н})}) .

$\frac{1}{2}\sqrt{-g}\;T_{mn}\equiv \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}-\partial_p\left(\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\right).$

Интегрирование по частям $(3)$ , у нас наконец есть

\begin{matrix} (4) & дельта С "=" \int г^{4} Икс \sqrt{- г} ϵ^{н} \nabla^{м} Т_{м н} "=" 0. \end{matrix}

$\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\;\epsilon^n\nabla^m T_{mn}=0.\tag{4}$

Таким образом, имеется 4 ковариантно сохраняющихся тока. $(T_{m})_{n}$ связано с 4 переводами $\epsilon^n$ .

Это общее. Для вашего конкретного случая второй член в $(1)$ исчезнет.

Обновлять: $\nabla^m T_{mn}=0$ означает, что тензор энергии-импульса, вообще говоря, сохраняется только в том случае, если мы берем достаточно малый участок пространства-времени (т.е. локально), где кривизна незначительна. В этом случае символы Кристоффеля исчезли бы и $\nabla^m T_{mn}$ приведет к правильному закону сохранения $\partial^m T_{mn}=0$ . Надлежащее сохранение также возможно всякий раз, когда есть векторы Киллинга, как подчеркивают Джерри Ширмер и Qmechanic.

Почему перевод никак не влияет на сами поля? Кроме того, теперь я немного запутался, поскольку другие ответы подразумевают, что симметрия перевода потеряна, и вы, кажется, все еще применяете ее?
Переводы действительно влияют на другие поля и порождают соответствующие термины, но эти термины будут сокращаться из-за уравнений движения, поэтому достаточно рассмотреть изменение относительно метрики. Что касается второго вопроса, я обновил ответ.

Джерри Ширмер · Answer 2

У вас вообще нет трансляционной симметрии. Для этого вам нужно иметь поступательный вектор Киллинга метрики. Если предположить это, то $L_{v}\sqrt{|g|} = 0$ (извините, в нашей версии MathJax не работает ни \pounds\textsterling, ни \mathsterling, я имею в виду производную лжи по вектору трансляционного убийства), и обычное доказательство работает, иначе неоднородность метрики убивает нэфир заряжать.

Метрика, которая меня интересует (Риндлер), действительно имеет убивающий вектор. $\partial_t$ но как это поможет мне провести обычное доказательство? ps: я думаю, что \mathcal{} работает

Qмеханик · Answer 3

ОП спрашивает, как применить первую теорему Нётер :

Как найти тензор энергии-импульса как заряд Нётер для трансляций в искривленных пространствах?

Проблема в том, что если предположить общее искривленное пространственно-временное многообразие ( $M,g$ ), мы потеряли трансляционную симметрию, которой мы обладали в пространстве Минковского $\mathbb{R}^{3,1}$ . Бесплатных обедов не бывает. Как сказано в ответе Джерри Ширмера, нам нужна симметрия Киллинга , чтобы построить сохраняющийся заряд/количество на оболочке.
Однако мы все еще можем определить симметричный гильбертовский тензор энергии-импульса-импульса (SEM) $T^{\mu\nu}$ . Инвариантность диффеоморфизма приводит через первую или вторую теорему Нётер (ссылка 1 и ответ Косма используют вторую теорему) к
$\begin{matrix} (А) & \nabla_{мю} Т^{мю ν} \overset{м}{\approx} 0 \end{matrix}$ $\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0 \tag{A}$ для произвольной метрики $g_{\mu\nu}$ , ср. мой ответ Phys.SE здесь . [Здесь $\stackrel{m}{\approx}$ символ означает равенство по модулю материи еом. Связь $\nabla$ это связь Леви-Чивиты.]
Важно понимать, что обычно не существует сохраняющихся зарядов/количеств на оболочке, связанных с уравнением. (А), см. этот пост Phys.SE. Нам все еще нужна симметрия Киллинга.

Использованная литература:

RM Wald, GR, Приложение E.1.

Спасибо за развернутый ответ со множеством соответствующих ссылок! Теперь я понимаю, что мне следует пытаться не доказывать теорию Нётер, а скорее конструировать $T^{\mu\nu}$ таким образом, чтобы он был ковариантно постоянным и симметричным, а затем сжать его с убивающими векторами. Остается один вопрос: существует ли какой-либо «хорошо известный» вывод для $T^{\mu\nu}$ как нетеровское обвинение в диффеоморфизме, потому что я не могу его найти (или ответ Косма именно такой?) ps: я знаю, что $T^{\mu\nu}$ по конструкции, я просто хочу связать это с симметрией...

Скалярное поле в искривленных пространствах

гертианский

Ответы (3)

Косм

гертианский

Косм

Джерри Ширмер

гертианский

Qмеханик

гертианский

Qмеханик

Тензор энергии-импульса преобразованного лагранжиана Дирака

От теоремы Нётер к каноническому тензору энергии-импульса с использованием трансляций

Тензор энергии-импульса в общей теории относительности и теории поля [дубликат]

Тензор энергии-импульса из теоремы Нётер

Тензор энергии-импульса для электромагнетизма в искривленном пространстве

Вторая теорема Нётер и локальные калибровочные тождества

Вывод канонического тензора энергии-импульса

Вывод импульса в КТП - из тензора энергии-импульса [закрыто]

Плотность гамильтониана классического поля Клейна-Гордона

Сохраняющийся ток в комплексном релятивистском скалярном поле