Вывод тока Нётер

Question

Вывод тока Нётер

действие
Физика
Нётер-теорема
лагранжев формализм
вариационное исчисление
вариационный принцип

КАФ

(См. Ди Франческо и др., Conformal Field Theory, стр. 40-41). Я пытаюсь вывести уравнение. (2.142) или

\begin{matrix} (2.142) & дельта С "=" \int г^{г} Икс ю_{а} \partial_{мю} {Дж}_{а}^{мю} \end{matrix}

$\delta S = \int d^d x ~\omega_a~\partial_{\mu}j^{\mu}_a \tag{2.142}$

в книге CFT Ди Франческо и др. Я получил окончательное выражение

дельта С "=" \int г^{г} Икс \partial_{мю} ю_{а} [\frac{дельта Ф}{дельта ю_{а}} \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} Φ)} - \frac{дельта {Икс}^{ν}}{дельта ю_{а}} \partial_{ν} Φ \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} Φ)} + \frac{дельта {Икс}^{мю}}{дельта ю_{а}} л] +

$\delta S = \int d^d x\,\partial_{\mu} \omega_a \left[\frac{\delta F}{\delta \omega_a} \frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\Phi)} - \frac{\delta x^{\nu}}{\delta \omega_a}\partial_{\nu}\Phi \frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\Phi)} + \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a}L\right] +$

\begin{matrix} (А) & ю_{а} [\frac{дельта Ф}{дельта ю_{а}} \frac{\partial л}{\partial Φ} + (\partial_{мю} \frac{дельта Ф}{дельта ю_{а}}) \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} Φ)} - \partial_{мю} (\frac{дельта {Икс}^{ν}}{дельта ю_{а}}) \partial_{ν} Φ \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} Φ)} + \partial_{мю} (\frac{дельта {Икс}^{мю}}{дельта ю_{а}}) л] \end{matrix}

$\omega_a\left[ \frac{\delta F}{\delta \omega_a}\frac{\partial L}{\partial \Phi} + (\partial_{\mu}\frac{\delta F}{\delta \omega_a})\frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\Phi)} - \partial_{\mu} (\frac{\delta x^{\nu}}{\delta \omega_a})\partial_{\nu}\Phi \frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\Phi)} + \partial_{\mu} (\frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a})L\right]\tag{A}$

и действительно, умножение членов $\partial_{\mu}\omega_a$ есть точно $j^{\mu}$ как получено в уравнении. (2.141). Проблема, с которой я сталкиваюсь, заключается в том, что условия умножения $\omega_a$ не исчезают. (Первые два являются следствием классических уравнений движения, а последние два - нет)

Метод, который использует Ди Франческо, состоит в том, чтобы принять параметр, зависящий от положения. $\omega = \omega(x)$ , затем сделайте его постоянным в самом конце.

Итак, если мы сделаем $\omega$ не зависит от положения в конце (т.е. наложить жесткое преобразование), то

\begin{matrix} (Б) & \partial_{мю} ю_{а} "=" 0 \end{matrix}

$\partial_{\mu}\omega_a = 0\tag{B}$ одинаково. В таком случае нам остается

\begin{matrix} (С) & ю_{а} \int г^{г} Икс [. .] "=" 0, \end{matrix}

$\omega_a\int d^dx [..] = 0,\tag{C}$ путем дальнейшего рассмотрения преобразования симметрии, где [..] - члены, умножающие

ω

$\omega$ в выражении выше.

Так что я не уверен, как Ди Франческо остался с

\begin{matrix} (2.140) & дельта С "=" - \int г^{г} Икс {Дж}_{а}^{мю} \partial_{мю} ю_{а} . \end{matrix}

$\delta S~=~-\int d^d x~ j^{\mu}_a ~\partial_{\mu} \omega_a \tag{2.140}.$

Абзац, предшествующий ур. (2.140) кажется мне противоречивым (в частности, первое и последнее предложение), и если он действительно навязывает жесткое преобразование, то не должен $\partial_{\mu}\omega_a = 0$ равен нулю в (2.140)?

Ответы (3)

Вывод тока Нётер

КАФ · Answer 1

От

дельта С "=" \int_{Д} г^{г} Икс \partial_{мю} ю_{а} [\dots]_{1} + \int_{Д} г^{г} Икс ю_{а} [\dots]_{2} \overset{!}{"="} 0,

$\delta S = \int_{\mathcal D} \text{d}^d x \,\partial_{\mu} \omega_a [\dots]_1 + \int_{\mathcal D} \text{d}^d x \,\omega_a [\dots]_2 \overset{!}{=} 0,$ получаем, что при глобальном изменении параметров преобразования симметрии

ω

$\omega$ х

ю_{а} \int_{Д} г^{г} Икс [\dots]_{2} "=" 0.

$\omega_a \int_{\mathcal D} \text{d}^d x \,[\dots]_2 = 0.$ По произвольности области интегрирования

D

$\mathcal D$ , следует

[\dots]_{2} = 0

$[\dots]_2 = 0$ одинаково.

Теперь рассмотрим локальную вариацию $\omega_a = \omega_a(x)$ . Тогда от требования, что $\delta S=0$ ,

\int_{Д} г^{г} Икс (\partial_{мю} ю_{а} [\dots]_{1} + ю_{а} [\dots]_{2}) "=" 0.

$\int_{\mathcal D} \text{d}^d x\, (\partial_{\mu} \omega_a [\dots]_1 + \omega_a [\dots]_2) = 0.$

Важным моментом является то, что как $[\dots]_2$ не зависит от $\omega$ , и мы вывели обращение этого коэффициента в нуль, ограничившись глобальной симметрией, теперь мы также заключаем, что

\int_{Д} г^{г} Икс \partial_{мю} ю_{а} [\dots]_{1} \overset{!}{"="} 0 \overset{!}{"="} \int_{Д} г^{г} Икс ю_{а} \partial_{мю} {Дж}^{мю},

$\int_{\mathcal D} \text{d}^d x\, \partial_{\mu} \omega_a [\dots]_1 \overset{!}{=} 0 \overset{!}{=} \int_{\mathcal D} \text{d}^d x\, \omega_a \partial_{\mu} j^{\mu},$ где в последнем равенстве мы интегрировали по частям, упростили результат в физическом предположении, что поля

Φ

$\Phi$ и их производные обращаются в нуль на бесконечности пространства-времени и сделали отождествление

[\dots]_{1} \equiv j^{μ}

$[\dots]_1 \equiv j^{\mu}$ .

ω

$\omega$ независимость коэффициента ясна только после следования обозначениям Ди Франческо, наивно кажется иначе.

Как $\mathcal D$ и $\omega$ без дополнительных ограничений, мы получаем

\partial_{мю} {Дж}^{мю} "=" 0.

$\partial_{\mu} j^{\mu} = 0.$

Я не думаю, что правильно предполагать, что $\delta S=0$ для любого домена $\mathcal D$ . Например, рассмотрим свободную скалярную теорию поля, которая является трансляционно-инвариантной. Брать $\mathcal D$ быть некоторой компактной областью и рассмотреть конфигурацию поля $\phi(x)$ локализованы в этом домене. Затем $S[\phi]\neq 0$ , но если мы переведем поле $\phi\rightarrow\phi'$ так что поддержка $\phi'$ теперь полностью отделен от $\mathcal D$ затем $S[\phi']=0$ , и поэтому $\delta S\neq 0$ .

Qмеханик · Answer 2

ОП пишет:

Проблема, с которой я сталкиваюсь, заключается в том, что условия [в ур. (А)] умножение $\omega_a$ не исчезают.

Назовем термин в уравнении. (А) который умножает $\omega_a$ для $k^a$ . Термин $k^a$ исчезает $^1$ вне оболочки
$\begin{matrix} (К) & к^{а} "=" 0 \end{matrix}$ $k^a~=~0 \tag{K}$ из-за основного предположения теоремы Нётер : действие имеет глобальную (т.е. $x$ -независимая) симметрия. $^2$
уравнение (K), уравнение ОП. (A) и определение (2.141) $j^{\mu}_a$ то вместе подразумевают, что уравнение. (2.140) выполняется вне оболочки для любого $x$ -зависимый $\omega^a(x)$ .
Наконец интегрировать уравнение. (2.140) по частям, чтобы вывести искомое уравнение. (2.142).

--

$^1$ Если мы допускаем граничные условия, член $k^a$ может содержать термины полной дивергенции. См. также соответствующий пост Phys.SE.

$^2$ Под симметрией понимается симметрия вне оболочки. Симметрия на оболочке — бессодержательное понятие.

конусность · Answer 3

У меня возникла такая идея: предположим, $\omega_a$ не зависит от $x_\mu$ , затем

\begin{aligned} 0 "=" дельта С & "=" \int г^{г} Икс (ю_{а} срок) + (\partial_{мю} ю_{а} срок) \\ "=" \int г^{г} Икс (ю_{а} срок) \end{aligned}

$\begin{align} 0 = \delta S &= \int d^d x (\omega_a \text{ term}) + (\partial_\mu\omega_a \text{ term}) \\ &= \int d^d x (\omega_a \text{ term}) \end{align}$

Так

\int г^{г} Икс (ю_{а} срок) "=" 0

$\int d^d x (\omega_a \text{ term} ) = 0$

Тогда можно смело сказать

дельта С "=" \int г^{г} Икс (\partial_{мю} ю_{а} срок)

$\delta S = \int d^d x (\partial_\mu \omega_a\text{ term})$ Для жесткого преобразования (

\partial_{μ} ω_{a} = 0

$\partial_\mu \omega_a =0$ ).

(На самом деле я в этом не уверен. Просто мысль...)

Вывод тока Нётер

КАФ

Ответы (3)

КАФ

Петар Симидзия

Qмеханик

конусность

Поиск конкретного лагранжиана

Уравнения Эйлера-Лагранжа из комплексного лагранжиана

Принцип стационарного действия против уравнения Эйлера-Лагранжа

Представляет ли интеграл в формуле действия относительно принципа стационарного действия площадь или длину?

Почему вариация симметрии δsqδsq\delta_s q отличается от обычной вариации δqδq\delta q?

Некоторая путаница в отношении особенностей геометрической формулировки лагранжевой механики и теоремы Нётер.

Докажите, что плотность лагранжиана LL\mathscr{L}, которая порождает данный набор уравнений Эйлера-Лагранжа, не уникальна [дубликат]

Зависимость лагранжиана свободной частицы от времени?

Принцип Гамильтона - получение уравнений Гамильтона

Прояснение некоторых простых деталей типов симметрий, связанных с теоремой Нётер.