Тензор энергии-импульса преобразованного лагранжиана Дирака

Рассмотрим стандартный лагранжиан Дирака, л "=" ψ ¯ ( я γ мю ∂ мю − м ) ψ , и преобразованный, отличающийся полной производной

л ′ "=" л − я 2 ∂ мю ( ψ ¯ γ мю ψ ) .

Можно показать, что тензор энергии-импульса, вычисленный из лагранжиана Дирака, равен Т мю ν "=" я ψ ¯ γ мю ∂ ν ψ . Учитывая это, должно быть возможно доказать, что тензор энергии-импульса, вычисленный из л ′ дан кем-то Т ′ мю ν "=" Т мю ν − я 2 ∂ ν ( ψ ¯ γ мю ψ ) .

Я пытался это сделать, но не могу закончить. Я использую стандартную формулу для тензора энергии-импульса,

Т мю ν "=" ∂ л ∂ ( ∂ мю ψ ) ∂ ν ψ − η мю ν л

и делать,

Т ′ мю ν "=" я 2 ψ ¯ γ мю ∂ ν ψ − η мю ν ( л − я 2 ∂ мю ( ψ ¯ γ мю ψ ) ) "=" Т мю ν − я 2 ψ ¯ γ мю ∂ ν ψ + я 2 ∂ ν ( ψ ¯ γ мю ψ ) "=" Т мю ν + я 2 ( ∂ ν ψ ¯ ) γ мю ψ "=" ?

Редактировать:

Следуя предложению @Quantum spaghettification, я получаю

Т ′ мю ν "=" ∂ л ′ ∂ ( ∂ мю ψ ) ∂ ν ψ + ∂ л ′ ∂ ( ∂ мю ψ ¯ ) ∂ ν ψ ¯ − η мю ν л ′ "=" я 2 ψ ¯ γ мю ∂ ν ψ − я 2 γ мю ψ ∂ ν ψ ¯ − η мю ν ( л − я 2 ∂ мю ( ψ ¯ γ мю ψ ) ) "=" Т мю ν − я 2 ψ ¯ γ мю ∂ ν ψ − я 2 γ мю ψ ∂ ν ψ ¯ + я 2 ∂ ν ( ψ ¯ γ мю ψ ) "=" Т мю ν − я 2 γ мю ψ ∂ ν ψ ¯ + я 2 ( ∂ ν ψ ¯ ) γ мю ψ "=" ?

Для начала подумайте: 1. Как ψ и ψ ¯ относятся к. 2. Левые и правые производные и упорядочение грассманово-нечетных полей.
@Qmechanic Я еще не понял, что вы упомянули в (2). Разве я не могу сделать это только с помощью алгебры?

Ответы (2)

Не обращайте внимания на антикоммутативную природу полей Дирака: если вы застряли в этой проблеме, вы, вероятно, так и не добрались до нее. Просто определите Т мю ν как

Т мю ν "=" ∂ л ∂ ( ∂ мю ψ )   ∂ ν ψ + ∂ ν ψ ¯   ∂ л ∂ мю ψ ¯ − η мю ν л

Это конкретная форма тензора, написанная в чьем-то ответе для случая поля Дирака. Обратите внимание на порядок множителей во втором члене: ψ ¯ является вектором-строкой, следовательно, он должен быть записан слева. Определение в ответе спагеттификации Q. упустило это из виду, в остальном это то же самое.

Ваше первое определение было совершенно неверным. В редактировании определение было правильным, за исключением порядка во втором термине. Что касается третьей строки в вашем редактировании, то здесь ошибка: она должна читаться

Т ′ мю ν "=" Т мю ν − я 2 ψ ¯ γ мю ∂ ν ψ − я 2 ( ∂ ν ψ ¯ ) γ мю ψ + я 2 η мю ν ∂ о ( ψ ¯ γ о ψ ) ( ⋆ )

потому что индексы гамма-матрицы и производной в последнем члене насыщены: вы не можете сжать их с индексами метрики. Теперь второе и третье слагаемые — это производная, которую вы ищете:

− я 2 ψ ¯ γ мю ∂ ν ψ − я 2 ( ∂ ν ψ ¯ ) γ мю ψ "=" − я 2 ∂ ν ( ψ ¯ γ мю ψ )

Что касается последнего члена, используйте уравнения Дирака, чтобы записать

я ∂ о ( ψ ¯ γ о ψ ) "=" ψ ¯ ( я γ о ∂ о ψ ) + ( я ∂ о ψ ¯ γ о ) ψ "=" м ψ ¯ ψ − м ψ ¯ ψ "=" 0

Если вы не знали, уравнение Дирака для ψ ¯ является

я ∂ о ψ ¯ γ о "=" − м ψ ¯

Как последний термин в ( ⋆ ) равен нулю, а второй и третий члены составляют расхождение, вы получили свой результат.

Спасибо, что помогли мне понять. Пара замечаний: я не совсем понимаю причину изменения порядка во втором члене для случая поля Дирака (я возьму это на заметку и постараюсь узнать почему позже); Я предполагаю, что это никогда не происходит со скалярными полями, но может ли это произойти, когда мы работаем с лагранжианом для А → поле? Что касается последнего термина, я догадался, что не смогу использовать те же индексы, но, поскольку у меня не было идей, я пропустил это... Спасибо.
Без глубокой причины. Просто посмотрите на чье-то определение (которое справедливо для любого поля, будь то скалярное, спинорное, векторное и так далее) и помните, что мы работаем с числами. ∂ ν ф я , будучи числом (зависящим от положения), коммутирует с производной лагранжиана, поэтому вы можете свободно менять порядок множителей. Поле Дирака представляет собой комплексный вектор с 4 компонентами, поэтому вы действительно должны записать его как ψ я , с я "=" 1 , … , 4 . То же самое относится и к ψ ¯ я . Однако, ...
... когда вы пишете выражение в неявной форме (например, ∑ я ψ ¯ я ψ я "=" ψ ¯ ψ ) вектор-строка ( ψ ¯ ) должен быть записан слева, а вектор-столбец ( ψ ) должно быть написано справа. Это то же самое, что и простое умножение матриц. Вы бы не написали ψ ψ ¯ , потому что это даст вам не число, а матрицу 4x4.
Это случается для н также кортежи скалярных полей, если вы оставите индексы неявными: вы бы написали Φ † Φ , нет Φ Φ † .

Общий канонический тензор энергии-импульса определяется этими компонентами:

(1) Т мю ν "=" ∂ л ∂ ( ∂ мю ф я ) ∂ ν ф я − η мю ν л ,
где ф я все независимые компоненты полей в игре. Со времен Дирака ψ имеет 8 действительных чисел (4 комплексных компонента), вам также необходимо добавить вклады от ψ ¯ .

Также очень важно помнить, что канонический тензор энергии-импульса определяется с точностью до расходимости ∂ α Θ α мю ν , где Θ α мю ν "=" − Θ мю α ν . Это дает вам возможность найти симметричную версию Т мю ν без изменения физики (полная энергия и импульс в полях).

Обратите внимание, что ваш лагранжиан:

л "=" ψ ¯ ( я γ мю ∂ мю − м ) ψ ,
не настоящее число. Хотя на самом деле это не проблема, обычно предпочтительнее, чтобы действие поля определялось как действительное число:

(2) л р е а л "=" я 2 ( ψ ¯ γ мю ( ∂ мю ψ ) − ( ∂ мю ψ ¯ ) γ мю ψ ) − м ψ ¯ ψ .

Тогда полная симметричная энергия-импульс равна

(3) Т мю ν "=" я 4 ( ψ ¯ γ мю ( ∂ ν ψ ) + ψ ¯ γ ν ( ∂ мю ψ ) − ( ∂ мю ψ ¯ ) γ ν ψ − ( ∂ ν ψ ¯ ) γ мю ψ )

Пожалуйста, объясните, как вы получаете этот тензор энергии-импульса, поскольку я пробовал то же самое и получил то, что получилось в моем редактировании.
@johani, к сожалению, процедура симметризации довольно длинная и включает в себя множество алгебраических манипуляций с гамма-матрицами. Упражнение хорошее, но сложное!
Тензор энергии-импульса преобразованного лагранжиана Дирака
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v