Взяв континуальный предел U(N)U(N)U(N) калибровочных теорий

Персонаж$\chi_R : G \to \mathbb{C}$представительства$R$определяется$\chi_R(U) = Tr_R(U)$, а именно взяв след$U$в представлении$R$. См., например, Приложение A Aharony et al. . Тогда уравнение, которое вы пишете, кажется разумным: по-видимому, существуют$N_f$гипермультиплеты, каждый с фундаментальными и антифундаментальными полями, которые дают$Tr(U^m)$и$Tr(U^{-m})$соответственно в сумме$R$. След взят из матрицы$U$потому что поля находятся в основном.

Множитель 2 должен исходить из деталей того, какие именно представления суммируются, содержания полей гипермультиплетов и т. д., за которыми я не пытался следить.

Теперь, что касается распределения собственных значений, которое появляется в (C.5), позвольте мне дать вам физическое объяснение того, откуда оно взялось. Они рассматривают термодинамику теории на сфере, поэтому топология — это топология сферы, умноженная на$S^1$-- евклидово компактное время. В этом случае имеет место нулевая мода калибровочного поля, обусловленная тем, что можно включить постоянное поле в тепловом направлении. Эта мода не может быть удалена калибровочным преобразованием (в общем случае), поэтому в интеграле по путям вам необходимо проинтегрировать его. Это объясняется, например, в разделе 4.1 Aharony et al . Вы можете использовать калибровочное преобразование, чтобы диагонализовать эту матрицу нулевого режима, так что у вас останутся дискретные собственные значения матрицы, по которым нужно проинтегрировать. Вы также можете показать, что эти собственные значения живут на окружности, потому что вы можете сдвинуть их на$2\pi$(в некоторой нормализации) с помощью калибровочного преобразования, поэтому вам нужно интегрировать их по кругу. В большом$N$limit у вас есть бесконечное количество таких собственных значений, но они все еще ограничены, чтобы жить на круге. Поэтому вам нужно описать их с помощью плотности, и это то, что они называют распределением.$\rho$.

Изменить: добавление объяснения (C.6)

Чтобы вывести (С.6), рассмотрим сначала сумму

где$\rho(\theta) = \frac{1}{N} \sum_i \delta(\theta - \alpha_i)$. Заметить, что$\rho$имеет правильную нормировку.

Принимая$N \to \infty$дельта функционирует в$\rho$станет очень плотным, и мы сможем аппроксимировать$\rho$гладкой функцией, значение которой при$\theta$зависит от плотности дельта-функций на малом интервале$[\theta,\theta+\epsilon]$. Это будет хорошим приближением, поскольку функция$\cos(n\theta)$, по которому мы интегрируем, не будет сильно различаться в этих интервалах, поэтому его усреднение вместо выборки не сильно изменит результат. Когда мы достигнем предела$N=\infty$это уже не будет приближением, потому что дельта-функции станут непрерывными.

Таким образом, это объясняет вывод второго члена в (C.6). Что касается первого члена, идея аналогична, за исключением того, что у вас есть два интеграла по$\theta,\theta'$соответствующий$i,j$суммы. Взносы$i=j$условия ($\theta=\theta'$в интеграле) являются второстепенными в больших$N$предел: они масштабируются как$N$в то время как остальная часть масштабируется как$N^2$, поэтому ими пренебрегают.

Теперь замените$\cos(n(\theta-\theta')) = \cos(n\theta) \cos(n\theta') + \sin(n\theta) \sin(n \theta')$. Обратите внимание, что в интеграле по путям по$\rho$вы можете рассматривать только распределения собственных значений, которые симметричны относительно$\theta \to -\theta$, так как исходное подынтегральное выражение инвариантно относительно этого. Об этом явно упоминается, например, у Шнитцера , который делает то же вычисление. Итак, это означает, что$\int d\theta \rho \sin(n\theta) = 0$. Думаю, с этого момента должно быть ясно.