условие стабильности Брейтенлохнера Фридмана

Для быстрого (и несколько грязного) способа получения оценки сделайте следующее: Вспомните, что в координатах Пуанкаре метрика$AdS_{d+1}$является

$$ds=\frac{1}{z^2}\left(dz^2+\eta^{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\right).$$ Уравнение движения для скаляра $$(\Box-m^2)\,\phi(z,x)=0,$$ где $\Box=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_a \sqrt{-g}g^{ab}\partial_b$. Подключив метрику AdS, вы получите $$\partial_z^2\phi(z,x)-\frac{d-1}{z}\partial_z \phi(z,x)+z^2\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi(z,x)-\frac{m^2}{z^2}\phi(z,x)=0.$$ Теперь используйте базис плоских волн для выражения $x$-зависимость решений, т.е. $$\phi(z,x)=\varphi(z)e^{ik_\mu x^\mu}$$ Тогда уравнения движения становятся $$\partial_z^2\varphi(z)-\frac{d-1}{z}\partial_z\varphi(z)-k_\mu k^\mu \varphi(z)-\frac{m^2}{z^2}\varphi(z)=0$$ Сделать замену $\varphi(z)\rightarrow z^{\frac{-d+1}{2}}\varphi(z)$прийти к $$(-\partial_z^2 +V(z))\varphi(z)=\omega^2\varphi(z).$$ где $$V(z)=\vec{k}^2+\frac{1}{z^2}\left(m^2+\frac{d^2-1}{4}\right).$$ Теперь вы можете использовать хорошо известный (?) результат о том, что зависящее от времени уравнение Шредингера допускает устойчивое решение только в том случае, если $V>-\frac{1}{4}$, т.е. $$m^2>-\frac{d^2}{4}.$$

Найдите подробности об этом последнем аргументе здесь и ссылки в нем. Другим источником является это решение набора задач из класса Гэри Горовица: web.physics.ucsb.edu/~phys230B/Solution2.pdf.

Причина отрицательной массы$^2$решение допустимо в том, что AdS включает в себя гравитационный потенциал, который дает отрицательную массу$^2$eigenstates общая положительная энергия.