Переписка Черн-Саймонс/WZW

Существует несколько различных взаимосвязей между моделями Черна-Саймонса/WZW, и есть несколько способов показать их. Хорошая статья, в которой это конкретно описано, — Elitzur et al Nucl.Phys. В326 (1989) 108 .

Теория Черна-Саймонса на компактном пространственном многообразии порождает конечномерное гильбертово пространство (только глобальные степени свободы), которое оказывается изоморфным пространству конформных блоков модели ВЗВ (которое также конечномерно, поскольку являются конечным числом примарных WZW под ассоциированной аффинной алгеброй Ли).

Однако если вы поместите теорию на многообразие с краем , то вблизи границы будут локальные степени свободы, а гильбертово пространство бесконечномерно (динамика граничных степеней свободы контролируется моделью ВЗВ). Позвольте мне рассмотреть простой пример последнего типа, вы можете заполнить подробные расчеты.

Действие дается

$$S[a] = \frac k{4\pi}\int_\mathcal M\text{tr}\left(a\wedge\text d a + \frac 23 a\wedge a\wedge a\right).$$ Можно показать, что для $k\in\mathbb Z$и граничное условие $a_0\big|_{\partial\mathcal M} = 0$, $e^{iS[a]}$калибровочно инвариантна, а уравнения движения корректно определены. Затем нам нужно правильно зафиксировать калибровку, давайте теперь предположим, что наше трехмерное многообразие имеет следующую простую форму $\mathcal M = \mathbb R\times\Sigma$. Сделать временную декомпозицию $\text d = \partial_0\text dx^0 + \tilde{\text d}$, где $\tilde{\text d} = \partial_i\text dx^i$, и $a = \tilde a_0 + \tilde a$, где $\tilde a_0 = a_0\text dx^0$и $\tilde a = a_i\text dx^i$ $(i=1,2)$. С этим разложением мы получаем следующее действие

$$S[a] = -\frac k{4\pi}\int_\mathcal M\text{tr}\left(\tilde a\wedge\partial_0\tilde a\right)\wedge\text dx^0 + \frac k{2\pi}\int_\mathcal M\text{tr}\left(\tilde a_0\wedge \tilde f\right),$$ где $\tilde f = \tilde{\text d}\tilde a +\tilde a\wedge\tilde a$. Ясно, что $\tilde a_0$это просто множитель Лагранжа, и мы фиксируем калибр как $a_0 = 0$(везде, а не только на границе). Как вариант, интегрировать $a_0$и мы получаем $\delta(\tilde f)$в континуальном интеграле. Таким образом, мы имеем следующее действие и ограничение

$$S[\tilde a, \tilde a_0=0] = -\frac k{4\pi}\int_\mathcal M\text{tr}\left(\tilde a\wedge\partial_0\tilde a\right)\wedge\text dx^0, \qquad \tilde f = \tilde{\text d}\tilde a +\tilde a\wedge\tilde a=0.$$ Таким образом, фазовое пространство теории есть пространство модулей плоских связностей на $\Sigma$. Имеет ли фазовое пространство конечный или бесконечный объем, зависит от того, $\Sigma$есть граница или нет.

Для простоты ограничимся простым многообразием$\mathcal M = \mathbb R\times D^2$, где$\Sigma=D^2$это$2$-диск. С$\pi_1(\mathcal M)=0$, не существует нетривиальных петель/голономий Вильсона (поскольку петля Вильсона зависит только от гомотопического класса кривой для плоских связностей) и, следовательно, нет топологических степеней свободы. В этом случае мы можем решить плоское ограничение соединения$\tilde f = 0$полагая калибровочное поле чисто калибровочным

$$\tilde a = -\tilde dUU^{-1},$$ где $U:\mathcal M\rightarrow G$— однозначная групповая функция. Здесь, $U$, параметризовать локальные степени свободы (теории Черна-Саймонса) по модулю калибровочных избыточностей. Действие, определяющее динамику $U$находится путем замены $\tilde a$в вышеуказанном действии. Используя координаты $(t,r,\theta)$, мы нашли

$$\begin{align*} S_{CWZW}&[U] = S\left[\tilde a=-\tilde{\text d} UU^{-1},\tilde a_0=0\right],\\ &= \frac k{4\pi}\int_{\partial\mathcal M}\text{tr}\left(\partial_\theta U^{-1}\partial_tU\right)\text d^2x + \frac k{12\pi}\int_{\mathcal M}\text{tr}\left([\text d UU^{-1}]^3\right),\\ &= \frac k{4\pi}\int_{\partial\mathcal M}\text{tr}\left(\partial_\theta U^{-1}\partial_tU\right)\text d^2x + \frac k{12\pi}\int_{\mathcal M}\text{tr}\left(\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_\mu UU^{-1}\partial_\nu UU^{-1}\partial_\rho UU^{-1}\right)\text d^3 x. \end{align*}$$ Формально также необходимо проверить, что интеграл по путям не имеет никакого якобиана.

$$\int\mathcal D\tilde a\delta(\tilde f) = \int\mathcal DU,$$ где $\mathcal DU$происходит от меры Хаара $G$. Это показывает, что вы искали, что статистическая сумма теории Черна-Саймонса определяется (хиральной) моделью WZW на границе. Для более общего $\mathcal M$, можно сделать аналогичный расчет с несколькими дополнительными элементами. Подробности см. в приведенной выше ссылке.

Конечно, есть и другие способы показать эту связь. Например, можно показать, что скобка Дирака на фазовом пространстве (пространстве модулей плоских связностей) сводится к аффинной алгебре Ли$\hat{\mathfrak g}_k$(которая является киральной алгеброй модели WZW). Существуют также подходы, в которых выводятся функциональные уравнения для волнового функционала. Можно также использовать каноническое квантование, как это делает Виттен, взорвав тот факт, что пространство модулей плоских связностей (модульное калибровочное преобразование) является келеровым многообразием, а симплектическая форма представляет первый класс Черна голоморфного линейного расслоения. Этот последний подход более абстрактен и менее прямолинеен, чем рассмотренный выше.

Достойный обзор находится примерно на стр. 30 из

• Кшиштоф Гавендзки, Конформная теория поля: тематическое исследование ( arXiv:hep-th/9904145 )

Дополнительные указатели см. в nLab в переписке AdS3-CFT2 и CS-WZW .

Я рекомендую

М. Бос и В.П. Наир. Когерентное квантование состояния теории Черна-Саймонса. Международный журнал современной физики A, A5: 959, 1990.

Кроме того, я написал на нее краткий обзор: посмотрите второй раздел моей статьи о теории Янга-Миллса-Черна-Саймонса ( http://arxiv.org/abs/1311.1853 ).