Является ли евклидова геометрия математической теорией или это теория эмпирической науки?
Если принять это за математическую теорию, будет ли это связано с наличием альтернативных геометрий? Если да, то связано ли это каким-то образом с недостаточной детерминированностью? В качестве альтернативы, если мы считаем, что это эмпирическая теория, будет ли это означать, что мы что-то делаем о пространстве?
Это и то, и другое, или, скорее, у него есть аспекты, которые являются математическими, и аспекты, которые являются эмпирическими (то же самое верно для ньютоновской механики или специальной теории относительности, но более очевидно). Если мы возьмем евклидову геометрию как науку о пространстве, как ее понимали греки, то это эмпирическая теория, которая может совпадать или не совпадать с наблюдениями и подлежит пересмотру на их основе. С другой стороны, если мы примем ее за набор теорем, выводимых из аксиом Гильберта (дополняющих аксиомы Евклида), то это будет чисто математическая теория. Это связано с существованием альтернативных геометрий только в том смысле, что мы не можем априори заключить, что эмпирическая геометрия является евклидовой, поскольку альтернативы существуют.
Недоопределение проявляется в том, что наблюдения позволяют нам проверять эмпирическую геометрию только с некоторой точностью, например, поэтому малая кривизна может быть не обнаружена. Более тонко, как указал Пуанкаре, наблюдения зависят только от пары геометрия + физика, а не от каждого в отдельности. Таким образом, мы могли бы сохранить евклидову геометрию пространства, изменив физическую часть теории, и все же получить теорию, эквивалентную общей теории относительности, но с довольно непривлекательной физикой. В качестве более простого примера, специальная теория относительности Эйнштейна и теория эфира Лоренца эмпирически эквивалентны, но одна из них установлена в четырехмерном пространстве-времени Минковского, а другая — в ньютоновском трехмерном пространстве, умноженном на одномерное время, но с физикой, которая компенсирует отсутствие эфирного ветра с помощью специальные динамические эффекты, такие как сокращение длины и замедление времени.
См. Является ли логика эмпирической? для соответствующего обсуждения.
Евклидова геометрия — это математическая теория, а не научная теория.
Он начинается с определений и аксиом и делает выводы из аксиом. Не нужно выходить на улицу, чертить линии и углы и измерять настоящие геометрические фигуры.
С другой стороны, Евклид, как и все до XIX века, считал, что евклидова геометрия описывает и наш мир.
Под влиянием вопроса о том, можно ли вывести постулат параллельности из других аксиом, математики XIX века (Гаусс, Бойяи, Лобачевский) обнаружили неевклидовы геометрии. Это показывает, что постулат параллельности не зависит от других аксиом.
Доказательство показывает, что существуют модели, удовлетворяющие всем аксиомам, но не постулату параллельности. Отсюда возник вопрос, является ли евклидова геометрия единственной геометрией, используемой в естествознании. Как мы знаем сегодня благодаря общей теории относительности, пространство-время вблизи большого распределения масс искривлено, а не евклидово. Здесь евклидова геометрия неприменима. Хорошим примером является гравитационное линзирование, см.
Теперь мы рассматриваем геометрию как математическую теорию: делаются предположения и строго логически выводятся следствия этих предположений, лишь мимоходом интересуясь точностью этих предположений.
Но когда Гильберт рос, почти все математики и ученые придерживались противоположной точки зрения. Еще в 1880 году почти все считали геометрию эмпирической наукой, разделом физики, обработанным с помощью математических инструментов. (Так же они думали и о вероятности: как о разделе физики.) Некоторые итальянцы из окружения Пеано, не помню кого, и Паша были пионерами нового подхода, ставшего теперь универсальным. Гильберт учился у них и в 1880-х годах переработал их работы, которые впервые привели к совершенно строгим аксиомам даже для евклидовой геометрии. Его также частично вдохновила работа по неевклидовой геометрии, которая в то время все еще вызывала споры, поскольку не казалась физической. Теперь мы знаем, что она физична, но такие люди, как Клейн и Гильберт, отстаивали точку зрения, согласно которой геометрия была чисто абстрактной,
Геометрия является частью математики. Он начинает с аксиом, делает из них выводы и так далее. «Альтернативные геометрии» не имеют ничего общего с тем, что они являются частью математики; люди использовали набор аксиом, который они считали достаточным, но оказалось, что это не так, и оказалось, что добавление любой из трех возможных дополнительных аксиом приведет к созданию одной отдельной математической геометрии из трех возможных.
С другой стороны, практическую геометрию можно рассматривать либо как инженерию, либо как науку. Есть много аспектов, которые не имеют ничего общего с математической геометрией. Например, создание точных инструментов, как на эти инструменты влияют температура, атмосферное давление и влажность вдоль измеряемой линии, влияние кривизны земли и относительности.
Например, когда вы точно определяете положение точек с помощью измерений в геометрии, все начинает нормально работать как раз в согласии с математической геометрией, но потом вы измеряете точнее, и результаты расходятся, потому что (1) земля не плоская, а шар , (2) потому что это не шар, а эллипсоид вращения, (3) потому что это не эллипсоид вращения, а сплющенный эллипсоид вращения, (4) потому что это не сплющенный эллипсоид вращения, а деформированный сплющенный эллипсоид вращения. И тогда вы принимаете во внимание относительность...
Итак, практическая геометрия — это во многом наука.
ЛМ Студент
Луис Энрике