Занимаясь математикой и создавая модели, удовлетворяющие заданной теории, мы различаем стандартные и нестандартные модели. Теперь предположим, что вы платоник и верите, что объекты, описываемые этими моделями, действительно существуют.
Будут ли эти стандартные модели «стандартными» по какой-то прагматической или эпистемологической причине? Например, может случиться так, что стандартная модель арифметики — это просто та модель, которая нас больше всего интересует или с которой мы лучше всего знакомы (или, возможно, с которой по какой-то причине проще всего работать). Это может быть просто, как может предположить синонимичное использование «предполагаемой модели», что-то, о чем мы намерены говорить по различным прагматическим или эпистемическим причинам.
Но также возможно, что стандартные модели в некотором смысле метафизически привилегированы, возможно, потому, что они более фундаментальны, чем нестандартные модели. Такое понимание предложено Дэвидом Льюисом, когда он делает набросок своего решения проблемы Plus-Quus (найденной в «Новой работе по теории универсалий»; см. здесь краткое описание проблемы). Его решение включает использование степеней естественности среди свойств. Некоторые свойства совершенно естественны, это самые фундаментальные. Однако другие свойства могут быть более или менее естественными, чем одно другое. Часть теории референции Льюиса (иногда называемая «эталонным магнетизмом») гласит, что естественность делает свойства «эталонным магнитом» в том смысле, что — при прочих равных условиях .--- наиболее естественным из ряда возможных референтов для предиката является лучший кандидат на референцию и тот, на который, скорее всего, будут ссылаться. Таким образом, его решение состоит в том, чтобы сказать, что «плюс» (наша обычная функция сложения) является лучшим кандидатом для ссылки, чем «квус» (который соответствует нашей функции сложения до тех пор, пока какое-то число n, которое никто не вычислил, затем дает результат 52 для любого number > n ), потому что это более естественно. Таким образом, кажется, что решение Льюиса метафизически отдает предпочтение математической функции (поскольку естественность является метафизическим понятием). Аналогичное отношение может быть принято к стандартным моделям, что они (или используемые ими концепции) более естественны, чем нестандартные модели.
Есть ли философы, которые открыто обсуждали метафизический статус стандартных моделей? Есть ли философы, взгляды которых на математику, кажется, предполагают нечто подобное?
(Это больше похоже на комментарий к вашему вопросу, чем на ответ, но он слишком длинный, чтобы быть им).
а. Чтобы усложнить вам чтение стандартных и нестандартных моделей, можно рассмотреть реальную линию. Это кажется в высшей степени естественным объектом; однако у него нет естественного понятия бесконечно малых величин. Это делает его неуклюжим для целей исчисления и анализа. Можно ввести нестандартную реальную линию, у которой они действительно есть, и первоначально это было сделано Робинсоном с использованием нестандартных моделей .
Так что здесь у нас есть нестандартная модель, чтобы привнести естественные черты в реальную линию. Определенно кажется, что стандартная модель зависит от эпистемических , прагматических или эстетических соображений.
б. То, что для какой-то теории могут быть стандартные и нестандартные модели, бесспорно, но можно ли уточнить это? Можно, в теории моделей есть свойство категоричности . Если оно выполнено, это просто означает, что даже когда существует более одной модели теории, на самом деле все они изоморфны, так что в некотором смысле у нас есть только одна модель. Для теории первого порядка это фактически невозможно. Но когда мы рассматриваем это вместе с размером модели, можно сказать больше. Оказывается (при счетном языке теории) все модели каждой мощности изоморфны.
Тогда мы можем увидеть, по крайней мере, что стандартная модель занимает привилегированное место — она находится в начале этого трансфинитного счета, этой лестницы моделей.
Другая интересная вещь, которую можно сделать, — превратить эту лестницу в линию, топологизировав ее. Это делает ее очень похожей на настоящую линейку (за исключением, конечно, того, что она все еще сильно отличается), а затем стандартная модель находится в начале линейки моделей .
редактировать
Бадью исследует метафизику моделей в своей концепции модели . Я думаю, что он рассматривает модель как представление математической концепции. Я не могу сказать намного больше, чем это.
Является ли математическое понятие «стандартной модели» метафизическим или (чисто) эпистемическим различением?
Метатеорию, в которой живет модель формальной системы, не следует путать с метафизикой. Предполагаемая структура «А» обычно явно указывается в метатеории. Заметим также, что изоморфизм — это четко определенное понятие в метатеории. Поскольку «Th(A)» (= набор формул, действительных для A) часто не является «вычислимым», мы возьмем рекурсивно перечислимое («вычислимое») подмножество формул $\Phi$ из «Th(A)». , который охватывает практически все важные аспекты «А». Модель "B" $\Phi$ с "Th(B) != Th(A)" будем называть нестандартной моделью. Существует также случай неизоморфной модели «B» с «Th(B) == Th(A)», но даже в этом случае это не «стандартная модель», мы не обязательно будем называть ее не- стандартная модель.
Есть ли философы, которые открыто обсуждали метафизический статус стандартных моделей?
Как насчет Альфреда Тейтельбаума или Альфреда Хорна? (Я знаю, что это не философы.) Серьезно, я думаю, что понятия стандартной и нестандартной модели возникают по необходимости и не имеют прямого отношения к метафизическим вопросам. С другой стороны, многие теории различают модели:
Типичным примером являются «бесплатные модели». Этот пример связан с определением гомоморфизмов для моделей (особенно тогда условие «если R (x_1, ..., x_n), то R ^ h (h (x_1), ..., h (x_n))»), которые моделирует отношения согласно семантике равенства.
Как уже указывалось в другом ответе, часто выделяют модели минимальной мощности.
Есть ли философы, взгляды которых на математику, кажется, предполагают нечто подобное?
Вопрос о том, что отличает одни модели от других или делает их менее сложными по сравнению с другими, безусловно, привлек некоторое внимание. Однако я знаю только математиков (таких как Колмогоров), которые пытались предложить ответы на эти вопросы, но даже не читали их оригинальные статьи.
Рекс Керр
Деннис