Является ли перенормируемость проблемой только теории возмущений?

Перенормировка выходит за рамки простого удаления бесконечностей из вычислений; есть причина, по которой эта проблема возникает в первую очередь, и это тот факт, что сцепление меняется с масштабом.

На самом деле практически все параметры теории так или иначе зависят от энергетического масштаба рассматриваемого процесса, в том числе и массы. Зависимость и то, как теория будет вести себя при изменении масштаба, закодированы в потоке ренормализационной группы.

Это не просто справедливо ни для определенного порядка в теории возмущений. Со многими другими теориями это не удалось сделать, но для супер-Янга Миллса у нас есть точная бета-функция,

$$\beta(\alpha) = -\frac{\alpha^2}{2\pi} \left[3T_G - \sum_i T(R_i) (1-\gamma_i)\right] \left(1-\frac{T_G\alpha}{2\pi} \right)^{-1}$$

в зависимости от некоторых теоретико-групповых параметров, согласно Новикову и др. Таким образом, теоретически мы можем предсказать точное изменение константы связи при переходе от одной энергетической шкалы к другой, и это следует понимать как нечто физическое, а не как вычислительный инструмент — мы бы заметили, что связь действительно отличается в эксперименте.

Теперь можно возразить, что, поскольку этот вопрос связан с константой связи, возможно, с ним связан некоторый произвол, как вы говорите, с пертурбативным методом. Однако связь не была введена искусственно как «малый» параметр, чтобы иметь возможность делать теорию возмущений, понятие связи восходит к классической механике, и она не вводится искусственно, а является необходимостью, насколько нам известно. описать теорию.

Нет, это не так. Перенормируемость - это, по сути, возможность определить КТП в непрерывном пространстве-времени, потому что физика дальних и коротких расстояний не связаны.

УФ-расхождения, которые на самом деле являются УФ-неоднозначностями, являются общим следствием наивного определения КТП на непрерывном пространстве-времени. Если вы попытаетесь, например, записать непертурбативный гамильтониан в теории взаимодействия, они возникнут как степени$\delta$-функции, которые являются плохо определенными объектами. Точно так же вы можете попытаться определить интеграл по путям и обнаружить неоднозначность в определении меры. Вы можете дополнить их определение бесконечным числом способов, что соответствует свободе регуляризации непрерывного пространства-времени. Вообще говоря, эта неоднозначность никуда не исчезает, и приходится вводить бесконечно много параметров.

Например, вы можете ввести решетку и проквантовать некоторую теорию на решетке. Однако, когда вы рассматриваете непрерывный предел, нет абсолютно никаких гарантий, что ваша модель забудет все детали решетки (например, была ли она прямоугольной или шестиугольной и т. д.). Моресо, вообще говоря, не забудет.

Однако при рассмотрении ренормгрупповых потоков оказывается, что некоторые из них концентрируются в ИК вблизи некоторых конечномерных подпространств пространства теории. Таким образом, КТП, соответствующие этим конечномерным подпространствам, забывают обо всех деталях UV, кроме конечного числа параметров. Это перенормируемые теории.