Я думаю, что дедукция, используемая в силлогистических системах, использующая аксиомы и, следовательно, логические выводы, т. е. теоремы, довольно слаба и не может быть достаточной для надежности, необходимой для доказательства математических теорем? Есть ли смысл в подходе Евклида?
Вы правы в том, что силлогистика, которая в современных терминах соответствует одноместному исчислению предикатов, недостаточна для занятий математикой. Современные формализмы используют полиадическое исчисление. Однако Евклид использует не только силлогистику (на самом деле, он почти ее не использует). Недавние исследования метода Евклида, особенно классической евклидовой диаграммы Мандерса, показывают, что его использование синтетического построения и чтения диаграмм несводимо к аксиоматическому рассуждению в стиле Гильберта и является основным инструментом демонстрации Евклида, см. Что вызвало или способствовало созданию Евклида. Элементы и синтетические Геометрия впала в немилость?
Кант, как и Локк до него, видел, что аналитических, т. е. выводимых в силлогистике, следствий недостаточно для доказательства даже теорем евклидовой геометрии, не говоря уже об исчислении, поэтому он ввел синтетические априорные конструкции, чтобы объяснить, как возможна нетривиальная математика. Но мотивирующее различие между «логическими» (аналитическими) и «геометрическими» (синтетическими) аргументами в евклидовой геометрии предшествует даже самому Евклиду и встречается уже у Аристотеля, который дошел до того, что сказал, что всякое мышление требует построения образов (фантомов) в геометрии. Память и воспоминания:
« Мы уже говорили о воображении в рассуждениях о душе, и невозможно мыслить без образа. Ибо в мышлении происходит тот же эффект, что и в доказательстве с помощью диаграмм. Ибо в последнем случае, хотя мы не пользуясь никаким фактом, что размер треугольника определен, мы тем не менее рисуем его определенным относительно размера (цитата из «Псевдарий» Евклида Ачерби ).
Разница в логической силе подробно обсуждается в «Теории геометрии Канта» Фридмана :
"Наше различие между чистой и прикладной геометрией идет рука об руку с нашим пониманием логики, а этого понимания просто не существовало до 1879 года, когда появился Begriffsschrift Фреге ... Аксиомы Евклида не влекут за собой теоремы Евклида только по логике. Более того, если мы вспомним, что аксиомы Евклида — это не те аксиомы, которые используются в современных формулировках... легко увидеть, что рассматриваемое утверждение совершенно верно. Ибо наша логика, в отличие от кантовской, полиадична, а не монадична (силлогистическа); и наши аксиомы евклидовой геометрии разительно отличаются от евклидовых тем, что содержат явную и по существу полиадическую теорию порядка. Общий тезис можно сформулировать следующим образом.
[...] Показывает ли это ..., что аксиоматизация Евклида безнадежно «дефектна»? Думаю, нет. Скорее, это подчеркивает тот факт, что система Евклида вовсе не является аксиоматической теорией в нашем смысле. В частности, существование необходимых точек логически не выводится из соответствующих экзистенциальных аксиом. Поскольку множество таких точек, конечно, бесконечно, эта процедура не может работать в монадическом (силлогистическом) контексте. Вместо этого Евклид создает необходимые точки с помощью определенного процесса построения: процедуры построения с линейкой и циркулем. "
С появлением современной логики вопрос об аналитическом и синтетическом был переформатирован. Фреге и Пирс, например, критиковали Канта за то, что он считал математику синтетической, или за слишком узкое определение «аналитического». Их понятие аналитического, конечно, было намного сильнее, чем его, из-за гораздо более сильной логики, и в этом отношении классическая математика действительно аналитическая. Интересно, что, хотя Фреге считал, что это делает строительство совершенно ненужным, современная логика Пирса просто систематизирует его:
« Но ни Кант, ни схоласты не предусматривают того факта, что бесконечно сложное положение, весьма далекое от очевидности, часто может быть выведено математическим рассуждением или необходимой дедукцией, логикой относительности, из определения предельной простоты, не предполагая любую гипотезу (действительно, такое допущение могло бы только сделать выводимое предложение более простым), и это может содержать много понятий, не явных в определении .
[...] Но Кант, из-за того слабого развития, которое получила в его время формальная логика, и особенно из-за его полного незнания логики относительности, бросающей блестящий свет на всю логику, впал в заблуждение в предполагая, что математическое и философское необходимое рассуждение отличаются тем обстоятельством, что первое использует конструкции. Это неправда. Всякое необходимое рассуждение происходит посредством построений; и единственная разница между математическими и философскими необходимыми выводами состоит в том, что последние настолько просты, что конструкция не привлекает внимания и упускается из виду.
Мауро АЛЛЕГРАНСА
Селена Карлос