Закон Ампера и теорема Стокса для плотности тока

Question

Закон Ампера и теорема Стокса для плотности тока

ДжОстин

И у Гриффитса, и у Джексона закон Ампера (или, наоборот, ротор магнитного поля) выводится путем применения теоремы Стокса к поверхностному интегралу плотности тока J. Аргумент основан на том факте, что

я_{е н с} "=" \int_{С} Дж \cdot д а

$I_{enc} = \int_{S} J \cdot da$ но я изо всех сил пытаюсь понять, как это вообще может быть верно для любой плотности тока и любой поверхности, ограниченной

\partial S

$\partial{S}$ .

Конечно, это будет верно для прямого провода, проходящего через центр амперовой петли, когда вектор J параллелен вектору нормали простейшей поверхности, заключенной в петлю, но что, если провод слегка наклонен по отношению к самолет? Используя ту же плоскую поверхность, ток теперь будет

\int_{С} я дельта (Икс) [\begin{matrix} Икс \\ у \\ г \end{matrix}] \cdot \hat{н} д а

$\int_{S} I\hspace{.12cm}\delta(x)\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} \cdot \hat{n} \hspace{.12cm} da$ что явно не одно и то же значение. Значит, закон Ампера учитывает только магнитное поле, создаваемое векторами, параллельными нормали?

И мой второй вопрос заключается в следующем. Как теорема Стокса верна во втором случае, когда завиток отличен от нуля только вдоль одной линии? Разве другая поверхность, простирающаяся в третье измерение с нормалью, параллельной току на пересечении, не даст другое значение поверхностного интеграла, поскольку фактическая площадь поверхности не имеет значения? Очевидно, что в моем математическом понимании материала есть серьезный изъян, но он не очевиден для меня.

Спасибо

Ответы (1)

Закон Ампера и теорема Стокса для плотности тока

Л. Леврель · Answer 1

Ваше первое уравнение, которое является простым определением тока, применяется к регулярным векторным полям. $\mathbf J$ . Непросто применить его к дельта-функциям Дирака. Если вы рассматриваете провод конечного размера, когда он наклонен относительно $S$ пересечение больше в разы $1/\cos θ$ что точно компенсирует $\cos θ$ фактор, возникающий из скалярного произведения.

Теперь о вашем втором вопросе. Начнем с того, что правильно запишем плотность тока для бесконечно малой проволоки, расположенной вдоль $z$ ось (определяется уравнениями $x=0, y=0$ , отсюда и две дельта-функции):

Дж "=" я дельта (Икс) дельта (у) \hat{г} .

$\mathbf j=I δ(x)δ(y)\hat z.$ Предположим, что поверхность интегрирования

S

$S$ это прямоугольник на плоскости

(x^{'}, y)

$(x',y)$ это наклонено под углом

θ

$θ$ с уважением к

(x, y)

$(x,y)$ самолет. Вид со стороны:

Нормальный $\mathbf n$ (вдоль $z'$ ось под углом $θ$ относительно $z$ ) имеет координаты $(\sin θ,0,\cos θ)$ в $(x,y,z)$ система. Так

\iint_{С} Дж \cdot н д С "=" \iint_{С} я дельта (Икс) дельта (у) потому что θ д С .

$\iint_S \mathbf j·\mathbf n\,\mathrm dS=\iint_S Iδ(x)δ(y)\cos θ\,\mathrm dS.$

Тогда нам нужно выразить дельта-функции в виде $x'y$ координаты. $y$ неизменен. Уравнение $x=0$ становится $x'\cos θ+z'\sin θ=0$ , так $δ(x)$ заменен на $δ(x'\cos θ+z'\sin θ)$ . На $S$ , $z'$ всегда равен нулю, поэтому, наконец, мы должны вычислить

\iint_{С} я дельта ({Икс}^{'} потому что θ) дельта (у) потому что θ д С .

$\iint_S Iδ(x'\cos θ)δ(y)\cos θ\,\mathrm dS.$ Теперь вы должны знать

δ (k x^{'}) = \frac{1}{| k |} δ (x^{'})

$δ(k x')=\frac 1{|k|}δ(x')$ , следовательно

\iint_{С} я дельта ({Икс}^{'} потому что θ) дельта (у) потому что θ д С "=" \iint_{С} я дельта ({Икс}^{'}) дельта (у) д С "=" я .

$\iint_S Iδ(x'\cos θ)δ(y)\cos θ\,\mathrm dS=\iint_S Iδ(x')δ(y)\,\mathrm dS=I.$ (В качестве альтернативы экспресс

d S = d x^{'} d y

$\mathrm dS=\mathrm dx'\,\mathrm dy$ и подставить переменную

x^{″} = x^{'} \cos θ

$x''=x'\cos θ$ .)

Спасибо. Это очень полезно. У меня нет достаточного формального образования в области дельта-функций - не могли бы вы указать мне правильное направление в этом случае? Что касается моего второго вопроса, то это просто повторение первого. Если у вас есть один бесконечно малый провод, как значение интеграла по любой поверхности, ограниченной $\partial{S}$ быть таким же? Разве вектор нормали в точке пересечения не может буквально указывать в любом направлении, в зависимости от поверхности? Как может $\int_{С} Дж \cdot н д С$ $\int_{S}J\cdot n dS$ быть постоянным для любого S, если J — некоторая дельта-функция и n может указывать в любом направлении?
Другими словами, если завиток B, $\mu J$ , имеет нулевое значение везде, кроме одной бесконечно малой (прямой) проволоки, где величина и направление J фиксированы, как может поверхностный интеграл по любой поверхности, ограниченной $\partial{S}$ с какой возможной нормой будет то же самое? Если J фиксировано, а n может быть любым вектором, как выполняется теорема Стокса? Спасибо!

Закон Ампера и теорема Стокса для плотности тока

ДжОстин

Ответы (1)

Л. Леврель

ДжОстин

ДжОстин

Изменение полярности магнита для увеличения/уменьшения вихревых токов?

Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за запаздывания?

Справка по правилу правой руки: часть 1

Расчет магнитного поля вокруг провода с током произвольной длины с использованием уравнений Максвелла.

Магнитное поле внутри проводника и линейность вихревых токов

Как найти направление вихревого тока?

Граничные условия в магнитостатике - Расчет поверхностной плотности тока

Нахождение силы между параллельными токами по формуле магнитного давления

Почему при повышении трансформатора увеличивается напряжение, а не ток?

Закон Фарадея и «бесконечная индукция»