На странице 488 Пескина и Шредера говорится (выделено мной):
Нетрудно проверить с помощью (15.27) и (15.21), что даже при конечных преобразованиях ковариантная производная имеет тот же закон преобразования, что и поле, на которое она действует.
Я действительно пытался это проверить.
Это то, что я пробовал:
- В( х ) ∈ SU( 2 )р4
- ψ ( х ) ↦ V( Икс ) ψ ( Икс )
.
- Дмю( х ) ≡∂мю− я гАмк ,Дж( х )оДж2
.
- я гАмк ,Дж( х )оДж2↦ В( х ) я гАмк ,Дж( х )оДж2[ В( х )†] -В( х ) {∂мю[ В( х )†] }
Таким образом:
Дмю( х ) ψ ( х ) ↦ {∂мю− В( х ) я гАмк ,Дж( х )оДж2[ В( х )†] +В( х ) {∂мю[ В( х )†] } }В( Икс ) ψ ( Икс ) знак равно= [∂мюВ( х ) ] ψ ( х ) +V( х )∂мюψ ( Икс ) - V( х ) я гАмк ,Дж( х )оДж2ψ ( х ) + V( х ) {∂мю[ В( х ) † ] } В( Икс ) ψ ( Икс ) знак равно= В( х )Дмю( Икс ) ψ ( Икс ) + { [∂мюВ( х ) ] +V( х ) {∂мю[ В( х ) † ] } В( Икс ) } ψ ( Икс )
Итак, насколько я понимаю,[∂мюВ( х ) ] +V( х ) {∂мю[ В( х ) † ] } В( х )"="?0
должно быть равно нулю.
Чтобы доказать это, я использовал тот факт, чтоВВ† = 1
:
∂мю[ В( х ) ] +V( х ) {∂мю[ В( х ) † ] } В( х )∂мю[ В( х ) 1 ] +V( х ) {∂мю[ В( х ) † ] } В( х )∂мю[ В( х ) В( х )†В( х ) ] +V( х ) {∂мю[ В( х ) † ] } В( х )[∂мюВ( х ) ] В( х )†В( х ) + В( х ) [∂мюВ( х )†] В( х ) + В( х ) В( х )†[∂мюВ( х ) ]+ В( х ) {∂мю[ В( х ) † ] } В( х )2 {∂мю[ В( х ) ] +V( х ) {∂мю[ В( х ) † ] } В( х ) }"=""=""=""="
Это все правильно?