Законы Кеплера для определения радиуса круговой орбиты

Question

Законы Кеплера для определения радиуса круговой орбиты

Алекс

«В нерелятивистском пределе общей теории относительности есть поправка к ньютоновской гравитационной потенциальной энергии $−h/r^3$ с $h = αL^2/(mc)^2$ , где $c$ это скорость света, $α = GMm$ и $L$ угловой момент"

Используя эти знания, я должен найти радиус круговых орбит для данного $m$ и $L$ и решить, какой из них стабилен.

Мой вопрос связан с тем, как я могу на самом деле определить радиусы, но терпите меня, пока я показываю свой процесс:

Я написал своему профессору по электронной почте, и мне сказали, что я должен ВЫЧИТАТЬ этот поправочный коэффициент из гравитационной потенциальной энергии, что дает мне:

В (р) "=" \frac{- г М м}{р} - \frac{г М м л^{2}}{р^{3} (м с)^{2}}

$V(r) = \frac{-GMm}{r} - \frac{GMmL^2}{r^3(mc)^2}$

Я могу найти эффективный потенциал:

В_{эфф} (р) "=" \frac{л^{2}}{2 м р^{2}} - \frac{г М м}{р} - \frac{г М м л^{2}}{р^{3} (м с)^{2}}

$V_\text{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} - \frac{GMmL^2}{r^3(mc)^2}$

Основываясь на информации в моем учебнике, я представляю, что должен построить график эффективного потенциала и прямой линии моей постоянной энергии. $E$ , а два радиуса будут точками, где энергетическая линия пересекает $V_\text{eff}(r)$ изгиб. Моя проблема возникает, когда я пытаюсь построить график.

Если я нарисую качественный график, просто используя $\frac{1}{r^2} - \frac{1}{r} - \frac{1}{r^3}$ Я получаю кривую без видимых экстремумов, которая приближается к 0 от $-y$ ось как $r$ уходит в бесконечность. С другими графиками, которые я нарисовал, используя $V_\text{eff}$ , я получил кривые, которые имеют смысл - я вижу локальный максимум или минимум, и я предполагаю, что планета может остаться "в ловушке" между двумя "стенами" минимума. В данном случае я, конечно, ничего этого не вижу.

Мой вопрос (надеюсь) намного шире, чем просто этот пример: «Как мне найти потенциальные радиусы вращающейся планеты, используя законы Кеплера?» Если я не допустил ошибку в своем процессе, я не верю, что смогу найти их, используя этот метод. Я думаю, что смогу найти их с большим количеством исчислений и перестановок, но я уверен, что должен быть более простой способ.

Гарип

Что такое

1 / r^{2}

$1/r^2$ срок для?

Алекс

V_{e f f} (r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + V (r)

$V_{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)$ , Итак

1 / r^{2}

$1/r^2$ термин происходит от

\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}

$\frac{L^2}{2mr^2}$ !

Али Мох

когда мы говорим «нерелятивистский предел» общей теории относительности, это подразумевает, что

1 / r^{3}

$1/r^3$ намного меньше, чем два других члена, чтобы это приближение было верным

пользователь12029

Попробуйте построить

r^{- 2} - r^{- 1} - 0.01 \cdot r^{- 3}

$r^{-2}-r^{-1}-0.01\cdot r^{-3}$ вместо. Коррекция небольшая.

c^{- 2}

$c^{-2}$ маленький.

Гарип

1 / r^{2}

$1/r^2$ : Ага. В вашем ОП была опечатка...

Алекс

Ах я вижу! Я просчитался с некоторыми из этих значений и получил что-то около E92. Это подводит меня ко второй части моего вопроса — я пытался подойти к нему по-другому и понял, что, поскольку круговая орбита

r_{m i n} = r_{m a x}

$r_{min} = r_{max}$ , два потенциальных радиуса будут просто экстремумами, верно?

Г. Пайли

Точно; искать экстремумы эффективного потенциала.

Ответы (2)

Законы Кеплера для определения радиуса круговой орбиты

$V_{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)$ , Итак $1/r^2$ термин происходит от $\frac{L^2}{2mr^2}$ !
когда мы говорим «нерелятивистский предел» общей теории относительности, это подразумевает, что $1/r^3$ намного меньше, чем два других члена, чтобы это приближение было верным
Попробуйте построить $r^{-2}-r^{-1}-0.01\cdot r^{-3}$ вместо. Коррекция небольшая. $c^{-2}$ маленький.
$1/r^2$ : Ага. В вашем ОП была опечатка...
Ах я вижу! Я просчитался с некоторыми из этих значений и получил что-то около E92. Это подводит меня ко второй части моего вопроса — я пытался подойти к нему по-другому и понял, что, поскольку круговая орбита $r_{min} = r_{max}$ , два потенциальных радиуса будут просто экстремумами, верно?
Точно; искать экстремумы эффективного потенциала.

пульсар · Answer 1

Ваше уравнение имеет вид

В_{эфф} (р) "=" \frac{α}{р^{2}} - \frac{β}{р} - \frac{γ}{р^{3}}

$V_\text{eff}(r) = \frac{\alpha}{r^2} - \frac{\beta}{r} - \frac{\gamma}{r^3}$ Если вы установите

α = β = γ = 1

$\alpha=\beta=\gamma=1$ , то вы переоцениваете

r^{- 3}

$r^{-3}$ срок, который должен быть небольшой коррекцией. Вы найдете только два экстремума, если производная имеет два корня:

В_{эфф}^{'} (р) "=" - \frac{2 α}{р^{3}} + \frac{β}{р^{2}} + \frac{3 γ}{р^{4}} "=" 0

$V_\text{eff}'(r) = -\frac{2\alpha}{r^3} + \frac{\beta}{r^2} + \frac{3\gamma}{r^4} = 0$ что подразумевает

β р^{2} - 2 α р + 3 γ "=" 0

$\beta r^2 - 2\alpha r + 3\gamma = 0$ Это уравнение имеет дискриминант

Δ^{2} "=" 4 (α^{2} - 3 β γ)

$\Delta^2 = 4(\alpha^2 - 3\beta\gamma)$ Так

V (r)

$V(r)$ имеет два экстремума, если

α^{2} ⩾ 3 β γ

$\alpha^2\geqslant 3\beta\gamma$ что верно, если

γ

$\gamma$ достаточно мал.

Большое спасибо за помощь мне здесь! Это подводит меня ко второму вопросу, как найти радиусы. Поскольку орбиты круговые, $r_{min} = r_{max}$ так что они были бы просто в экстремуме, верно? Есть ли более простой способ решить эту проблему? Мне не повезло с графикой, так как значения настолько велики, а формула слишком сложна, чтобы получить хорошую производную, равную нулю.
@Alex Да, радиусы находятся на экстремумах. Просто решите $V_\text{eff}'(r)=0$ .

Алекс · Answer 2

Найти потенциальные радиусы на самом деле довольно просто. У меня уже есть:

В_{е ф ф} (р) "=" \frac{л^{2}}{2 м р^{2}} - \frac{г М м}{р} - \frac{г М м л^{2}}{р^{3} (м с)^{2}}

$V_{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} - \frac{GMmL^2}{r^3(mc)^2}$

я по ошибке нарисовал график $1/r^2 - 1/r - 1/r^3$ , когда на самом деле имеет смысл взять $1/r^2 - 1/r - 0.1/r^3$ , с $1/r^3$ достаточно мал.

Поскольку орбиты круговые, потенциальные радиусы будут находиться в экстремумах функции $V_{eff}(r)$ , поэтому мне просто нужно взять:

В_{е ф ф}^{'} (р) "=" 0

$V'_{eff}(r) = 0$

\frac{- л^{2}}{м р^{3}} + \frac{г М м}{р^{2}} + \frac{3 г М м л^{2}}{р^{4} (м с)^{2}} "=" 0

$\frac{-L^2}{mr^3}+\frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMmL^2}{r^4(mc)^2} = 0$ Умножая каждую сторону на

r^{4}

$r^4$ , я вижу, что у меня есть уравнение, подобное:

а р^{2} + б р + с "=" 0

$ar^2 + br + c = 0$ Таким образом, я могу использовать квадратичную формулу, чтобы получить:

р "=" | \frac{- л^{2} / м + - \sqrt{л^{4} с^{2} - 12 г^{2} М^{2} м^{2} л^{2}} / м с}{2 г М м} |

$r = |\frac{-L^2/m +- \sqrt{L^4c^2 - 12G^2M^2m^2L^2}/mc}{2GMm}|$ Ссылаясь на мой график, я вижу, что первый из этих радиусов будет нестабильным, потому что энергия больше его, поэтому она уйдет в бесконечность, тогда как для второго (большего) радиуса полная энергия больше локального минимума, поэтому планета/частица окажется в ловушке потенциальной ямы, поэтому она стабильна.

Подставляя принятые значения для G, M, m, c и L в уравнение, которое дает большее значение r (где я вычитаю знак +-), я получаю фактический радиус от Земли до Солнца, ~ $1.5*10^8 km$ !

Законы Кеплера для определения радиуса круговой орбиты

Алекс

Гарип

Алекс

Али Мох

пользователь12029

Гарип

Алекс

Г. Пайли

Ответы (2)

пульсар

Алекс

пульсар

Алекс

Отсутствие стабильных замкнутых орбит для ньютоновского гравитационного поля в пространственных измерениях d≠3d≠3d\neq 3

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны

Движение, описываемое a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Как вывести соотношение обратных квадратов в законе тяготения Ньютона из законов Кеплера?

Закон Кеплера и моя проблема

Объяснение движения человека и космического корабля на орбите Земли [закрыто]

Орбитальная механика: упадет ли спутник?

Устранение путаницы в орбитальной механике

Решение проблемы Кеплера

проблема закона Кеплера