Запутанные векторы в гильбертовом пространстве

Question

Запутанные векторы в гильбертовом пространстве

Ричард

Рассмотрим систему двух частиц со спином $\frac{1}{2}$ , каждое из которых описывается двумерным одночастичным гильбертовым пространством $\mathcal{H}$ . Позволять $|\pm\rangle\in\mathcal{H}$ обозначим собственные векторы оператора спина $\hat{S}_3$ .

Я хочу показать, что векторы

\begin{aligned} ф^{\pm} & "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ \otimes | + ⟩ \pm | - ⟩ \otimes | - ⟩) \\ ψ^{\pm} & "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ \otimes | - ⟩ \pm | - ⟩ \otimes | + ⟩) \end{aligned}

$\begin{align} \varphi^\pm&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle\otimes|+\rangle\pm|-\rangle\otimes|-\rangle)\\ \psi^\pm&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle\otimes|-\rangle\pm|-\rangle\otimes|+\rangle)\end{align}$ образуют ортонормированный базис максимально запутанных векторов (базис Белла) в

H \otimes H

$\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}$ .

Что ж, очень легко показать, что векторы ортонормированы и образуют базис в гильбертовом пространстве. У меня есть проблемы с доказательством того, что векторы максимально запутаны.

Я знаю, что чистое состояние называется максимально запутанным, если собственные значения редуцированной матрицы плотности равны. Итак, я должен вычислить матрицу плотности $\varrho=|\varphi^\pm\rangle\langle\varphi^\pm|$ . Могу ли я действительно предположить, что векторы являются чистыми состояниями?

Любопытный Разум

Что такое чистое состояние, если не отдельный вектор? Кроме того, два вектора Белла не являются базой полного гильбертова пространства.

Вальтер Моретти

@ACuriousMind Возможно, вы пропустили тот факт, что векторов четыре! Они являются ортонормированным базисом

C^{2} \otimes C^{2}

${\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2$ поскольку их четыре, они попарно ортогональны и нормализованы.

Любопытный Разум

@ValterMoretti: О, ты прав, конечно. Я бы все же спросил, каково определение чистого состояния в ОП.

QuantumBrick

Если он выражает состояние в виде векторов, то это чистые состояния.

Ответы (1)

Запутанные векторы в гильбертовом пространстве

Что такое чистое состояние, если не отдельный вектор? Кроме того, два вектора Белла не являются базой полного гильбертова пространства.
@ACuriousMind Возможно, вы пропустили тот факт, что векторов четыре! Они являются ортонормированным базисом ${\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2$ поскольку их четыре, они попарно ортогональны и нормализованы.
@ValterMoretti: О, ты прав, конечно. Я бы все же спросил, каково определение чистого состояния в ОП.
Если он выражает состояние в виде векторов, то это чистые состояния.

Матеус Сампайо · Answer 1

Как отметил @ACuriousMind в своем комментарии, определение чистого состояния — это состояние, которое является вектором $\mathcal{H}$ , в этом случае $\Bbb{C}^2\otimes\Bbb{C}^2$ . Если взять например $\rho=|\varphi^+\rangle\langle\varphi^+|$ , приведенная матрица плотности в первом пространстве равна

\begin{aligned} р_{1} & "=" {Тр}_{2} р \\ "=" (я \otimes ⟨ + |) р (я \otimes | + ⟩) + (я \otimes ⟨ - |) р (я \otimes | - ⟩) \\ "=" (я \otimes ⟨ + |) | ф^{+} ⟩ ⟨ ф^{+} | (я \otimes | + ⟩) + (я \otimes ⟨ - |) | ф^{+} ⟩ ⟨ ф^{+} | (я \otimes | - ⟩) \\ "=" \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | \\ "=" \frac{я}{2} \end{aligned}

$\begin{align}\rho_1&=\operatorname{Tr}_2\rho\\ &=(I\otimes\langle+|)\rho(I\otimes|+\rangle)+(I\otimes\langle-|)\rho(I\otimes|-\rangle)\\ &=(I\otimes\langle+|)|\varphi^+\rangle\langle\varphi^+|(I\otimes|+\rangle)+(I\otimes\langle-|)|\varphi^+\rangle\langle\varphi^+|(I\otimes|-\rangle)\\ &=\frac{1}{2}|+\rangle\langle+|+\frac{1}{2}|-\rangle\langle-|\\ &=\frac{I}2\end{align}$ Так,

ρ_{1}

$\rho_1$ имеет равные собственные значения

1 / 2

$1/2$ . Если вы проделаете аналогичные вычисления для других векторов или второго объекта, вы получите тот же результат, который показывает, что они максимально запутаны.

Запутанные векторы в гильбертовом пространстве

Ричард

Любопытный Разум

Вальтер Моретти

Любопытный Разум

QuantumBrick

Ответы (1)

Матеус Сампайо

Представление матриц плотности спина-1

Подготовка состояния frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rangle

Запутанность не присуща состоянию, а зависит от разделения на подсистемы? (Сасскинд К.М.)

В каком состоянии находится один электрон в запутанном состоянии?

Запись запутанности в скобочной нотации

Лингвистическое использование термина «триплетное состояние»

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Частицы Spin-1212\frac{1}{2} в химии

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Почему магнитный момент электрона всегда параллелен спину электрона?