Подготовка состояния frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rangle

Рассмотрим спиновое состояние частицы со спином с "=" 1 2 . Что касается спиновых степеней свободы, то операторы С 2 и С г образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, т. е. [ С 2 , С г ] "=" 0 . Предположим, мы измеряем оба С 2 и С г . Измерение С г либо даст значения м с "=" + 1 2 или м с "=" − 1 2 . Кроме того, предположим, что 50% времени мы обнаруживаем, что частица находится в + 1 2 состояние (обозначается | 1 2 , + 1 2 ⟩ ), а остальные 50% времени в м с "=" − 1 2 состояние (обозначается | 1 2 , − 1 2 ⟩ ).

  1. Основываясь на этой информации, что представляет собой приведенный выше ансамбль? Это чистый или смешанный ансамбль? Я предполагаю, что это смешанный ансамбль.

  2. Если чисто (в чем я сомневаюсь), нормализованное спиновое состояние | х ⟩ частицы можно записать как

    (1) | х ⟩ "=" е я ф 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + е я ф 2 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩
    где ф 1 , ф 2 являются произвольными фазами. Следовательно, спиновое состояние системы не определено однозначно, поскольку относительная фаза не может быть зафиксирована.

  3. Как подготовить состояние с ф 1 "=" ф 2 "=" 0 так что

    (2) | х ⟩ "=" 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + 1 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ?

Может быть хорошей идеей включить в ваш заголовок, что этот вопрос конкретно касается фазового фактора.
1. «Следовательно, состояние системы не может быть определено однозначно, даже если это чистое состояние». - почему это удивительно? Вы дали неполную информацию - один реальный параметр, а именно вероятность оказаться в заданном С г состояние - но состояние пространства, сфера Блоха, имеет два реальных параметра. Пожалуйста, не задавайте вопросы, на которые, скорее всего, ответ будет просто «да». 2. Если это вопрос об экспериментальной процедуре, то этот вопрос, по-видимому, сильно отличается от первого, и его следует задавать отдельно. Я бы посоветовал удалить/уточнить первое и расширить второе.
@ACuriousMind 1. Как заранее узнать, будет ли ответ «да»? Обычно вопрос задают, когда задающий находится в замешательстве. 2. Я не думаю, что это экспериментальный вопрос. Это концептуальный вопрос.
Если это не экспериментальный вопрос (что не будет не по теме!), то я не знаю, что вы подразумеваете под «подготовкой».

Ответы (4)

Судя по изложенной вами информации,

[Если мы измерим С г , то] 50% времени мы обнаруживаем, что частица находится в + 1 2 состояние (обозначается | 1 2 , + 1 2 ⟩ ), а остальные 50% времени в м с "=" − 1 2 состояние (обозначается | 1 2 , − 1 2 ⟩ )

недостаточно информации, чтобы сказать, находится ли система в чистом или смешанном состоянии. В качестве двух конкретных примеров оба

  • полностью смешанное состояние р "=" 1 2 ( | 1 2 , − 1 2 ⟩ ⟨ 1 2 , − 1 2 | + | 1 2 , 1 2 ⟩ ⟨ 1 2 , 1 2 | ) , и
  • чистое состояние | ψ ⟩ "=" 1 2 ( | 1 2 , − 1 2 ⟩ + | 1 2 , 1 2 ⟩ ) ,

совместимы с этими статистическими данными измерений. Наиболее общее состояние, которое даст эти результаты измерения, имеет матрицу плотности вида

р "=" ( 1 2 р 12 * р 12 1 2 ) ,
в { | 1 2 , + 1 2 ⟩ , | 1 2 , − 1 2 ⟩ } основа, где р 12 - когерентность между двумя базисными состояниями; это может быть ноль (что дает полностью смешанное состояние) или любое комплексное число с модулем до 1 / 2 (в этом случае состояние является чистым состоянием, с фазой р 12 указывает на относительную фазу между базисными состояниями в суперпозиции) или где-то посередине (указывает на частичную когерентность между двумя состояниями).

Если вы явно знаете, что у вас больше нет информации о состоянии, то по умолчанию вы используете полностью смешанное состояние. Это потому, что, как вы заметили, чтобы иметь возможность говорить о чистом состоянии с этой статистикой, оно должно быть состоянием суперпозиции с четными весами в форме

| х ф ⟩ "=" 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + е я ф 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ,
и вам нужно указать относительную фазу ф между ними (глобальная фаза, с другой стороны, не имеет значения), и если у вас нет больше информации, вы не можете знать, что вводить для ф . Один из способов сделать это — выполнить усреднение, при котором все различные фазы равновероятны, и это даст вам...
р "=" ∫ 0 2 π | х ф ⟩ ⟨ х ф | д ф "=" ∫ 0 2 π 1 2 ( 1 е − я ф е я ф 1 ) д ф "=" 1 2 ( 1 0 0 1 )
совершенно смешанное состояние.

С другой стороны, если у вас есть дополнительная информация о состоянии (например, статистика измерений на С Икс и С у ), то вы можете сказать больше о фазе, но в такой обобщенной ситуации вы можете сказать очень немногое.

И наконец, что касается того, как вы готовите суперпозицию положительной фазы,

| + ⟩ "=" 1 2 | 1 2 , + 1 2 ⟩ + 1 2 | 1 2 , − 1 2 ⟩ ,
Самый удобный способ - измерить С Икс и дождаться результата + 1 / 2 , но на самом деле существует бесконечное количество способов прийти к такому результату, так что на этот вопрос особенно сложно ответить.

Поставьте эксперимент Штерна-Герлаха, отфильтруйте луч о г ^ с магнитным градиентом вдоль этой оси, измерьте Икс ^ компонент спина: ваше состояние представляет собой комбинацию ± собственные состояния о Икс .

  1. Если вы измерите С г с равными вероятностями нахождения "=" 1 / 2 или − 1 / 2 это означает, что спиновая система готовилась в направлении, перпендикулярном г . Без ограничения общности назовем его Икс направление. Состояние, которое вы написали, это просто общее состояние вращения в Икс направление, представляющее собой линейную комбинацию

    | х ⟩ "=" а | + 1 / 2 ⟩ + б | − 1 / 2 ⟩ ,
    ограничивается условием нормализации,
    | ⟨ х | х ⟩ | 2 "=" 1 ,
    и вероятности нахождения С г "=" ± 1 / 2 условия,
    | ⟨ + 1 / 2 | х ⟩ | 2 "=" 1 / 2 , | ⟨ − 1 / 2 | х ⟩ | 2 "=" 1 / 2.
    Решение для коэффициентов а "=" е я ф 1 / 2 и б "=" е я ф 2 / 2 .

  2. Штат

    | + Икс ⟩ "=" 1 2 ( | + 1 / 2 ⟩ + | − 1 / 2 ⟩ ) ,
    такова, что при измерении С Икс это дает + 1 / 2 всегда. Теперь предположим, что вы начинаете с ансамбля вращений, подготовленного с помощью С г "=" + 1 / 2 . Если вы хотите сейчас подготовить систему к состоянию С Икс "=" + 1 / 2 , просто поверните аппарат (например, прибор Штерна-Герлаха) в Икс направлении и измерьте вращение. Половина измерений покажет С Икс "=" + 1 / 2 и все эти вращения подготовлены в | + Икс ⟩ . Другая половина дает С Икс "=" − 1 / 2 и готовятся в | − Икс ⟩ .

  1. Да, состояние спина не указано однозначно. Вы действительно можете опустить фазу е я ф 1 а потом | х >= 1 2 | 1 2 , + 1 2 > + е я ф 2 | 1 2 , − 1 2 > , поскольку не имеет значения, изолирована ли система.

  2. Это похоже на то, когда вы знаете направление г ^ , можешь указать направление Икс ^ ? Нет, вы можете определить только плоскость xy и должны определить Икс ^ если ты хочешь. Таким образом, вы должны определить направление | х + >= 1 2 | 1 2 , + 1 2 > + 1 2 | 1 2 , − 1 2 > первый.

    Скажем, направление | 1 2 , + 1 2 > : г ^ , и направление вашего розыска | х + > : Икс ^ . Затем вы можете измерить ансамбль состояний в направлении Икс ^ , и подобрать те состояния, которые схлопываются в | х + >

Подготовка состояния frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\frac{1} {2},-\frac{1}{2}\rangle
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v