Запутанность не присуща состоянию, а зависит от разделения на подсистемы? (Сасскинд К.М.)

Question

Запутанность не присуща состоянию, а зависит от разделения на подсистемы? (Сасскинд К.М.)

Джондекер

Я работаю над книгой Сасскинда «Квантовая механика» (серия ТТМ), которая мне очень нравится.

Фон

В лекции 7 (глава 7) он изучает систему с двумя спинами. Один спин имеет собственные векторы:

| ты ⟩ "=" (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | г ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$|u\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},~~ |d\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

и тогда 2-спиновое состояние имеет собственные векторы:

| ты ты ⟩ "=" (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | ты г ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | г ты ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), | г г ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

$|uu\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},~~ |ud\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix},~~ |du\rangle=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},~~ |dd\rangle=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$

Алиса изучает первую с оператором $\sigma$ и Боб второй с оператором $\tau$ (это действительно операторы произведения односпиновых $\sigma_z$ с личностью $I$ : $\sigma_z\bigotimes I$ и $I\bigotimes\sigma_z)$ :

о "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) т "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ~~~ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Теперь об интересном .

У нас может быть состояние продукта, в котором два спина («подсистемы») независимы (без запутывания):

ψ "=" (а_{1} | ты ⟩ + а_{2} | г ⟩) ⨂ (б_{1} | ты ⟩ + б_{2} | г ⟩)

$\psi ~=~ (a_1|u\rangle+a_2|d\rangle)\bigotimes(b_1|u\rangle+b_2|d\rangle)$

"=" а_{1} б_{1} | ты ты ⟩ + а_{1} б_{2} | ты г ⟩ + а_{2} б_{1} | г ты ⟩ + а_{2} б_{2} | г г ⟩ (1)

$~~~=~a_1b_1|uu\rangle+a_1b_2|ud\rangle+a_2b_1|du\rangle+a_2b_2|dd\rangle~~~(1)$

где $a_i$ и $b_i$ отдельно нормированы на $1$ так что, если мы вычисляем математическое ожидание для любого вращения, другое вообще не учитывается. Например $\langle\psi|\sigma|\psi\rangle=a_1^2-a_2^2$ без внешнего вида $b_i$ .

Затем Сасскинд говорит, что большинство случайно выбранных коэффициентов $|uu\rangle...$ (нормализованный) не будет факторизоваться, как в $(1)$ . Потом они запутываются. А примером максимально запутанного состояния является синглетное состояние:

| С ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (| ты г ⟩ - | г ты ⟩)

$|S\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|ud\rangle-|du\rangle)$

Сейчас $\langle S|\sigma|S\rangle=0$ поэтому у вас нет информации об отдельных спинах. Однако у вас есть информация о коррелированных измерениях, потому что $\langle S|\tau\sigma|S\rangle=-1$ где путем умножения матриц

т_{г} о_{г} "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\tau_z\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Затем Сасскинд обсуждает, как можно проверить, является ли состояние запутанным или нет (и насколько запутанным), вычислив корреляцию операторов. $A$ и $B$ или проверка собственных значений матриц плотности с одним состоянием ( $\rho_{2x2})$ , который должен быть $\{1,0,0,0...\}$ , или проверка того, что коэффициенты состояния $\{0,\frac{1}{\sqrt 2},-\frac{1}{\sqrt 2},0\}$ можно факторизовать как в $(1)$ (они не могут).

Вопрос (переписан после полезных ответов tparker и Emilio Pisanty)

Разве все эти тесты на запутанность не относятся к выбранным операторам 4x4, $\sigma_z$ и $\tau_z$ , которые отражают тот или иной выбор разделения состояния на подсистемы?

Вместо подразделения, основанного на двух спинах, мы можем разделить на основе $|S\rangle$ и триплетные состояния $|T_1\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|ud\rangle+|du\rangle),~~|T_2\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|uu\rangle+|dd\rangle)$ и $|T_3\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|uu\rangle-|dd\rangle)$ . Заменим базис матрицей подобия $P=(|T_3\rangle~|T_2\rangle~|T_1\rangle~|S\rangle)$ . В этой новой основе $|S\rangle...|T_3\rangle$ являются базисными векторами и

А "=" т_{г} о_{г, н е ж б а с я с} "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) ⨂ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

$A=\tau_z\sigma_{z,new basis} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Б "=" т_{у} о_{у, н е ж б а с я с} "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ⨂ (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

$B=\tau_y\sigma_{y,new basis} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \bigotimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Мы рассматриваем новые базисные векторы как векторы произведений, изоморфные одиночным спинам, каждый из которых может находиться в состояниях, помеченных $|+\rangle$ и $|-\rangle$ (чтобы не путать с $|u\rangle$ и $|d\rangle$ ) и мы получаем это

| С ⟩ "=" | - - ⟩, | Т_{1} ⟩ "=" | - + ⟩, | Т_{2} ⟩ "=" | + - ⟩, | Т_{3} ⟩ "=" | + + ⟩

$|S\rangle = |{--}\rangle,~~~~ |T_1\rangle = |{-+}\rangle,~~~~ |T_2\rangle = |{+-}\rangle,~~~~ |T_3\rangle = |{++}\rangle$

С $A$ и $B$ имеют форму операторов произведения, мы можем позволить им определить новое подразделение полной системы. Каждая новая подсистема больше не соответствует электрону в определенном месте, как в исходном делении. Можно подумать, что A и B работают с одной меткой каждый (A с первым + или -, B со вторым).

С этим новым подразделением каждый из $|S\rangle...|T_3\rangle$ не запутываются.

Заключить

Запутанность в глазах смотрящего (оператора 4x4 или подразделения подсистемы). Да?

Биофизик

Итак, вы предлагаете расширить произвольное состояние как суперпозицию синглетного и триплетного состояний вместо двухспиновых состояний? Я думаю, вам понадобится какое-то измерительное устройство, которое определяет только синглетное/триплетное состояние без измерения каких-либо отдельных спинов?

Джондекер

Да. Я уверен, что есть практические проблемы со сборкой оборудования. Но на абстрактном уровне QM позволяет нам создавать любые наблюдаемые и определять операторы на основе их собственных векторов. Запутанность не является внутренним свойством состояния. Запутанность обычно обсуждается с «подсистемами», выбираемыми как два спина, которые физически удалены, потому что именно это происходит в интересном случае ЭПР/Белла. Я думаю: состояние — это просто состояние, и кажется ли оно запутанным, зависит от того, как вы с ним взаимодействуете (наблюдаете за ним, воздействуете на него).

Биофизик

То есть, говоря немного по-другому, вы предлагаете принять состояние, в котором одна суперпозиция не имеет наборов коэффициентов, сумма квадратов которых равна

1

$1$ , но если бы мы выразили то же самое состояние как суперпозицию, используя другой базис, мы обнаружили бы, что существует такое разбиение коэффициентов, что сумма квадратов в каждом разбиении составляет сумму

1

$1$ . Если это то, что вы говорите, я думаю, что вы правы, но это не является моей основной областью исследований. Надеюсь, что кто-то с большим опытом в этом сможет взвесить.

Джондекер

@AaronStevens, по сути да. (Хотя я не уверен, что назвал бы эти части суперпозициями; возможно, «факторными субсостояниями».

Биофизик

Но это именно то, что они есть... это суперпозиции. Беря состояние и выражая его как сумму других состояний, мы буквально формируем суперпозицию. Вот что такое суперпозиция. Я не называю каждый член суперпозиции суперпозицией.

туалет

У вас есть эта фраза... "тогда ни |S⟩, ни |T⟩ не запутаны, а являются чистыми состояниями". Кажется, вы подразумеваете, что запутанное состояние не может быть чистым состоянием. Это не верно.

Эмилио Писанти

«Зависимость от оператора» — ужасная характеристика содержания этого вопроса. Я настоятельно рекомендую отредактировать заголовок, чтобы было ясно, что вы спрашиваете о тензорном разделе, а не только о свободе «оператора» (что либо бессмысленно, либо не то, о чем вы на самом деле спрашиваете).

Эмилио Писанти

Кроме того, обратите внимание на разницу в промежутках между $|++\rangle$ и $|{++}\rangle$ (которые отображаются как

| + + ⟩

$|++\rangle$ и

| + + ⟩

$|{++}\rangle$ , соотв.). Последнее вообще лучше. (Разница в том, что $-$ и $+$ обычно интерпретируются LaTeX/MathJax как бинарные операторы, но здесь это не так.)

Ответы (2)

Запутанность *не* присуща состоянию, а зависит от разделения на подсистемы? (Сасскинд К.М.)

Итак, вы предлагаете расширить произвольное состояние как суперпозицию синглетного и триплетного состояний вместо двухспиновых состояний? Я думаю, вам понадобится какое-то измерительное устройство, которое определяет только синглетное/триплетное состояние без измерения каких-либо отдельных спинов?
Да. Я уверен, что есть практические проблемы со сборкой оборудования. Но на абстрактном уровне QM позволяет нам создавать любые наблюдаемые и определять операторы на основе их собственных векторов. Запутанность не является внутренним свойством состояния. Запутанность обычно обсуждается с «подсистемами», выбираемыми как два спина, которые физически удалены, потому что именно это происходит в интересном случае ЭПР/Белла. Я думаю: состояние — это просто состояние, и кажется ли оно запутанным, зависит от того, как вы с ним взаимодействуете (наблюдаете за ним, воздействуете на него).
То есть, говоря немного по-другому, вы предлагаете принять состояние, в котором одна суперпозиция не имеет наборов коэффициентов, сумма квадратов которых равна $1$ , но если бы мы выразили то же самое состояние как суперпозицию, используя другой базис, мы обнаружили бы, что существует такое разбиение коэффициентов, что сумма квадратов в каждом разбиении составляет сумму $1$ . Если это то, что вы говорите, я думаю, что вы правы, но это не является моей основной областью исследований. Надеюсь, что кто-то с большим опытом в этом сможет взвесить.
@AaronStevens, по сути да. (Хотя я не уверен, что назвал бы эти части суперпозициями; возможно, «факторными субсостояниями».
Но это именно то, что они есть... это суперпозиции. Беря состояние и выражая его как сумму других состояний, мы буквально формируем суперпозицию. Вот что такое суперпозиция. Я не называю каждый член суперпозиции суперпозицией.
У вас есть эта фраза... "тогда ни |S⟩, ни |T⟩ не запутаны, а являются чистыми состояниями". Кажется, вы подразумеваете, что запутанное состояние не может быть чистым состоянием. Это не верно.
«Зависимость от оператора» — ужасная характеристика содержания этого вопроса. Я настоятельно рекомендую отредактировать заголовок, чтобы было ясно, что вы спрашиваете о тензорном разделе, а не только о свободе «оператора» (что либо бессмысленно, либо не то, о чем вы на самом деле спрашиваете).
Кроме того, обратите внимание на разницу в промежутках между $|++\rangle$ и $|{++}\rangle$ (которые отображаются как $|++\rangle$ и $|{++}\rangle$ , соотв.). Последнее вообще лучше. (Разница в том, что $-$ и $+$ обычно интерпретируются LaTeX/MathJax как бинарные операторы, но здесь это не так.)

тпаркер · Answer 1

Я думаю, что понимаю ваш вопрос, но я вообще не понимаю комментарии Аарона Стивенса, которые вы считаете правильным перефразированием, поэтому возможно, что я на самом деле неправильно понимаю ваш вопрос. С этой оговоркой:

Ваша основная идея верна, но ваши утверждения недостаточно математически точны, чтобы быть полностью правильными. (Во-первых, вы используете слова «запутанный» и «чистый», как если бы они были взаимоисключающими, но это не так — максимально запутанное состояние, которое вы описываете, является и запутанным, и чистым.) Да, независимо от того, является ли состояние имеет внутреннюю запутанность, действительно зависит от того, как вы разложите гильбертово пространство на подсистемы.

Но вы упускаете ключевой момент, а именно то, что гильбертовы пространства для составной системы являются тензорным произведением гильбертовых пространств отдельных систем, а не прямой суммой . Гильбертово пространство $\mathcal{H}_{AB} = \{ |uu\rangle, |ud\rangle, |du\rangle, |dd\rangle \}$ для двухспиновой системы есть тензорное произведение $\mathcal{H}_{AB} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ , где $\mathcal{H}_A$ и $\mathcal{H}_B$ оба изоморфны гильбертовому пространству $\{ u, d \}$ за одно вращение. Таким образом, мы можем осмысленно говорить об операторе, который действует только на одну подсистему. Но множество линейных комбинаций $|S\rangle$ и $|T\rangle$ состояний образует прямую сумму $\{|S\rangle\} \oplus \{|T\rangle\}$ , поэтому мы не можем думать о $|S\rangle$ и $|T\rangle$ состояния как подсистемы, с которыми операторы могут действовать независимо.

Иногда гильбертово пространство составной системы можно записать в виде тензорного произведения двумя неэквивалентными способами. Это действительно соответствует двум различным допустимым способам разделения полной системы на подсистемы, и от этого деления действительно может зависеть, запутаны ли подсистемы. (Но это не совсем то же самое, что базисная зависимость, потому что оказывается, что запутанность не зависит от базиса, выбранного для каждой подсистемы . одна подсистема не повлияет на запутанность.)

Мы не можем увидеть это в вашем примере с двумя спинами, но мы можем увидеть это, если рассмотрим систему из трех спинов. $A$ , $B$ , и $C$ , гильбертово пространство которого $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C = \{ uuu, uud, udu, udd, duu, dud, ddu, ddd \}$ . Рассмотрим состояние

\frac{1}{\sqrt{2}} (| {ты}_{А} г_{Б} ⟩ - | г_{А} {ты}_{Б} ⟩) \otimes | {ты}_{С} ⟩ "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (| ты г ты ⟩ - | г ты ты ⟩) .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (|u_A d_B\rangle - |d_A u_B\rangle) \otimes |u_C\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|udu\rangle - |duu\rangle).$ В этом состоянии спины A и B максимально запутаны, но спин C не запутан ни с одним из них. Один человек может иметь экспериментальный доступ только к операторам, которые воздействуют либо на (а) спины А и В, либо (б) на спин С. Этот человек, естественно, считал бы, что спины А и В вместе составляют единую подсистему, а спин С — как составную часть отдельной подсистемы. Поэтому они естественным образом факторизовали бы гильбертово пространство как

H = H_{A B} \otimes H_{C}

$\mathcal{H} = \mathcal{H}_{AB} \otimes \mathcal{H}_C$ , и сказать, что состояние не запутано. Никаких необычных корреляций между спинами в «отдельных подсистемах» они бы не наблюдали.

Но у кого-то другого может быть экспериментальный доступ к другому набору операторов, которые могут действовать только либо (а) на спин А, либо (б) на спины В и С. Этот второй человек, естественно, считал бы, что спин А составляет единую подсистему, а спины В и С вместе составляют отдельную подсистему. Поэтому они естественным образом факторизовали бы гильбертово пространство как $\mathcal{H} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ , и говорят, что состояние запутано (фактически максимально запутано). Они бы наблюдали идеальные корреляции между (то, что они называют) «отдельными подсистемами».

Но опять же, как только вы определяете конкретную тензорную разложение вашего гильбертова пространства на фиксированные подсистемы, запутанность между подсистемами не зависит ни от базиса, ни от наблюдателя.

Мне нравится ответ, но я чувствую себя немного неловко из-за утверждения, что наблюдатели имеют свободу факторизовать гильбертово пространство... В вашем примере что мешает наблюдателям полностью факторизовать до $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C$ ? Можете ли вы привести пример набора наблюдаемых, который «заставляет» наблюдателя заключить с $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ ?
@IamAStudent Я думаю, все сводится к тому, что может измерить наблюдатель. Если они могут измерять только каждый спин отдельно, то в их интересах было бы использовать предложенную вами факторизацию. Если они могут измерить только А и В вместе или С отдельно, то первая предложенная в ответе факторизация более полезна.
tparker, не беспокойтесь о моих комментариях к вопросу. Я думаю, что ваш абзац начинается со слов «Иногда гильбертово пространство составной системы может быть записано как тензорное произведение двумя неэквивалентными способами». это действительно то, что я пытался понять, и я думаю, что это лучшая часть, которая достаточно отвечает на вопрос ОП.
@IAmAStudent Отличный вопрос. Есть большая тонкость, которую я скрыл в своем ответе: я рассматривал только двудольную запутанность в чистых состояниях. Мы могли бы также рассмотреть многочастную запутанность или двудольную запутанность в смешанных состояниях (которые, благодаря теореме об очищении, на самом деле являются математически эквивалентными понятиями). В этом случае понятие запутанности становится гораздо более сложным и тонким. Наблюдатель, безусловно, может и далее разлагать гильбертово пространство на множители, но я не хотел вдаваться в эту историю.
Комментарий @IAmAStudent Аарона Стивенса под вашим абсолютно верен. Математически вы можете разложить гильбертово пространство на множители многими различными способами, которые формально могут различаться в зависимости от того, является ли состояние запутанным. Но физически естественный способ сделать это состоит в том, чтобы сгруппировать вместе подсистемы, которые экспериментально можно измерить одновременно (без потери квантовой когерентности).
@tparker, может быть, я имею в виду, что в конечном счете, $\mathcal{H}_{BC} = \mathcal{H}_{B} \otimes \mathcal{H}_C$ . Если это не так, я хотел бы знать пример, и как можно выразить то же самое $\mathcal{H}$ как $\mathcal{H}_A \otimes ( \mathcal{H}_{B} \otimes \mathcal{H}_C )$ и $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC}$ , при этом правостороннее факторное пространство математически различно.
@IAmAStudent Да, вы абсолютно правы в том, что гильбертовы пространства $\mathcal{H}_{AB} \otimes \mathcal{H}_C = (\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B) \otimes \mathcal{H}_C$ и $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{BC} = \mathcal{H}_A \otimes (\mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C)$ математически эквивалентны - разница между тем, где мы помещаем наши круглые скобки, только «в нашем уме». Если у вас есть какое-то фундаментальное «элементарное» гильбертово пространство, которое, как вы точно знаете, не может быть факторизовано, то в принципе вы можете однозначно указать, является ли состояние запутанным, не определяя факторизацию.
@IAmAStudent Но проблема в том, что в физике мы никогда не знаем наверняка, что действительно элементарно - всегда может быть внутренняя запутанность в меньших масштабах, чем мы можем получить экспериментально. Таким образом, концептуально полезно мысленно изображать сложные составные системы и рассматривать их как нефакторизуемые, а также говорить о запутанности между неструктурированными подсистемами, не беспокоясь об их внутренней запутанности. В этой структуре запутанность состояния может зависеть от разрешения, что можно интерпретировать как «зависимое от наблюдателя».
Спасибо за отличный ответ, @tparker. Я действительно стремился к другому подразделению, а не просто к новой основе для существующего подразделения. Я обновил раздел вопросов .

Эмилио Писанти · Answer 2

Запутанность в глазах смотрящего (оператор 4×4 или подразделение подсистемы). Да?

Да, но это довольно бесполезное наблюдение.

Формальное определение запутанного состояния двудольной квантовой системы с пространством состояний $\mathcal H = \mathcal H_A\otimes \mathcal H_B$ как следует:

сепарабельным состоянием является состояние, матрица плотности которого может быть разделена как сумма тензорных произведений отдельных матриц плотности, т. е. если $\rho\in \mathcal B(\mathcal H)$ - матрица плотности системы, $\rho$ сепарабельно тогда и только тогда, когда существуют матрицы плотности $\rho_{A,i}\in \mathcal B(\mathcal H_A)$ и $\rho_{B,i}\in \mathcal B(\mathcal H_B)$ и веса $p_i\geq 0$ такой, что $р "=" \sum_{я} п_{я} р_{А, я} \otimes р_{Б, я} .$ $\rho = \sum_i p_i \rho_{A,i}\otimes \rho_{B,i}.$
запутанное состояние - это любое состояние, которое не является разделимым.

Для ясности, запутанность является внутренним свойством состояния вместе с разделением пространства состояний на тензорные факторы.

Если вы хотите рефакторизовать свое полное пространство состояний в какую-то другую факторизацию тензорного произведения, тогда состояние, запутанное в $A$ , $B$ двусторонняя схема действительно может рассматриваться как отделимая в некоторых альтернативных $A'$ , $B'$ факторизация.

Однако, если вы можете рефакторизовать свое общее пространство состояний таким образом, это говорит вам о том, что ваше первоначальное разделение на партии не имело особого смысла с самого начала. В сценариях реального мира мы используем запутанность как соответствующую концепцию для двудольных систем, где факторизация тензорного произведения пространства состояний (т. контекст и не может быть легко изменен. Если вы видите, что это используется в контексте, где это не так ( гм ), тогда любые выводы, сделанные из запутанности, соответственно ослабляются.

Один полезный способ увидеть это — заметить, что теорию запутанности очень часто лучше всего рассматривать как теорию ресурсов . Теории ресурсов — отличный способ проанализировать ситуации, когда у вас есть один класс операций, который легко реализовать, но которого может быть недостаточно для достижения какой-то заранее заданной цели. Другими хорошими примерами являются термодинамика (где операции — это энергосберегающие процессы, а ресурс — энтропия) и гауссовость (где операции — линейные оптические операции); в запутанности классом свободных операций являются локальные операции и классическая коммуникация, обычно сокращенно обозначаемые как LOCC, и, очевидно, они строго связаны с разделением системы на части, которые могут действовать «локально» и которые могут общаться классически.

Теории ресурсов, конечно, полезны только тогда, когда ресурс, который они описывают, действительно ценен, и когда их ограниченные операции на самом деле трудно реализовать: так же, как изучение термодинамики довольно бесполезно, если у вас есть волшебный черный ящик, который может вводить и удалить энергию из любой части вашей системы по вашей команде, изучение запутанности довольно бессмысленно, если у вас есть свободный доступ к унитарным операциям, не относящимся к LOCC, которые пересекают разделение A-B.

Это не означает, что в такой ситуации нельзя говорить о запутанности, как, например, о спинах двух электронов, находящихся в связанных состояниях в одном и том же атоме или молекуле, но если рефакторизация физически возможна в чем-то вроде разумный смысл, то выводы, вытекающие из наличия запутанности, будут соответственно тривиальными.

Но что еще более важно, если вы посмотрите на реальное использование, оно всегда имеет вид

эта система связана с той системой.

При вашей рефакторизации первая часть этого предложения, которая теряет смысл, не «запутана», а «система».

(В приведенном ниже ответе рассматривается конкретная интерпретация v6 вопроса, которая, честно говоря, была намного интереснее, чем текущая версия. Из-за этого я сохраняю ее.)

То, что предоставляет Сасскинд, известно как свидетель запутанности , и здесь вы действительно получаете некоторое поведение «глаза смотрящего». В общем случае свидетелем запутывания является некоторый оператор $A$ таким образом, что его математическое ожидание в состоянии $\rho$ , $\mathrm{Tr}(\rho A)$ , удовлетворит

Т р (р А) \geq 0 \forall отделимый р,

$\mathrm{Tr}(\rho A) \geq 0 \qquad \forall\text{ separable }\rho,$ так что

Т р (р А) < 0 ⟹ р запутался .

$\mathrm{Tr}(\rho A) < 0 \implies \rho\text{ is entangled}.$ Однако большинство свидетелей запутанности несовершенны: то есть для любого данного свидетеля запутанности

A

$A$ , обычно будут запутанные состояния

ρ

$\rho$ для которого

T r (ρ A) \geq 0

$\mathrm{Tr}(\rho A) \geq 0$ , так что

A

$A$ не может обнаружить запутанность этого конкретного запутанного состояния.

Тем не менее, для любого заданного запутанного состояния всегда будет по крайней мере один свидетель запутанности, который может удостоверить, что оно запутано.

Другими словами, определение запутанности не зависит от операторов, используемых для обнаружения ее присутствия, но обычно эти операторы будут иметь ограниченную область действия, в которой они могут обнаруживать запутанные состояния.

И если это звучит так, как будто запутанность — сложный объект для обнаружения и характеристики, тогда... да, в значительной степени.

Я думаю - хотя я не уверен - что свобода тензорно-факторизовать гильбертово пространство по-разному (с разными результирующими оценками запутанного и не для одного и того же состояния) была ядром вопроса ОП.
@tparker Возможно, это действительно так, но я чувствую, что вопрос слишком запутан, чтобы сказать наверняка. Как я уже говорил, обращение к этой свободе полностью разрушает двухчастный аспект системы и делает бессмысленными любые разговоры о запутанности. Но я чувствую, что нам нужно подождать, пока johndecker четко разъяснит, имелось ли в виду именно это.
Спасибо, @EmilioPisanty за ответ. Я обновил раздел «Вопрос» в своем вопросе, чтобы сосредоточиться на подразделении гильбертова пространства.
Я думаю, мы все пытаемся сказать, что запутанность определяется относительно факторизации пространства. Вопрос не в том, что он запутан, и он просто спрашивает, становятся ли неразделимые состояния разделяемыми, когда вы меняете базис; ответ на это "да".
@johndecker Ваш пересмотренный вопрос не имеет смысла. Ваши новые «партии» не существуют физически, и любые операции, которые выполняет каждая новая «партия», должны быть совместными, коррелированными операциями исходных А и В. (Действительно, новые «локальные» операции запутывают ворота в начальное подразделение.) В некотором смысле ответ на ваш перефразированный вопрос — да с оговоркой: как уже отмечалось в этом ответе, запутанность всегда определяется только относительно разделения всего пространства состояний на тензорные факторы.
Но важно то, что это наблюдение довольно бесполезно. Если вы возьмете любой контекст, в котором запутанность полезна, и попробуете использовать трюк с тензорной рефакторизацией, вы обнаружите, что новые «стороны» представляют операции, которые слишком сложны, чтобы быть полезными. Например, если вы используете запутывание для квантовой телепортации, связи или распределения ключей, ваши новые «стороны» — это совместные операции над двумя исходными локалями, и нет никакого способа физически разделить их, поэтому ни один из классических протоколов тоже есть смысл.
@EmilioPisanty, да, новая система менее понятна для физической визуализации и, возможно, сложна для экспериментальной реализации. Однако в начальном подразделении, если мы говорим о вращениях в двух местах, мы неявно добавляем третью метку, местоположение. Мы могли бы представить себе два спина без местоположения — не связанные с электронами или, возможно, связанные в атоме? -- и тогда я думаю, что математическая обработка и изменение базиса, которые я предлагаю, действительно имеют смысл. Спасибо за участие.
@johndecker Смотрите отредактированный ответ.
@DanielSank Nitpick: когда вы меняете тензорную факторизацию, а не когда вы меняете «основу». Тензорная факторизация гильбертова пространства является полностью независимым от базиса понятием. Выбор такой факторизации делает работу с некоторыми базисами более естественной (базисы, базисные векторы которых являются состояниями произведения по отношению к этой факторизации), но, строго говоря, «тензорная факторизация» и «базис» — совершенно независимые понятия.
@DanielSank Однако на практике люди все время размывают это различие - например, говорят о «запутанности в основе позиции» и «запутанности в основе импульса» - поэтому ваше использование в моей книге полностью приемлемо при разговоре с экспертами. Просто подумал, что это стоит указать для людей, которые все еще учатся.
Я не согласен с вашим утверждением, что всегда есть чрезвычайно естественный/полезный способ факторизации гильбертова пространства. Это правда, что факторизация в реальном пространстве часто оказывается наиболее полезной на практике, но иногда вместо нее полезна факторизация на основе частиц — именно так работает «первое квантование». Рассмотрим волновую функцию $\psi(x,y) = \phi_A(x) \phi_B(y)$ для двух различимых частиц $A$ и $B$ . ...
Такая волновая функция является состоянием произведения по отношению к «основе» частицы (см. предостережение выше, почему в кавычках), но запутана в позиции «основа» — если вы измеряете $n = 0, 1, \text{ or } 2$ частиц в левой половине системы, то вы сразу узнаете, что существует ровно $2 - n$ частицы в правой половине системы. Не так увлекательно, как нарушение неравенства Белла, но все же считается запутыванием. Действительно, приближения Борна-Оппенгеймера и Хартри-Фока в DFT и квантовой химии состоят в допущении отсутствия запутанности в «базисе» частицы .
Более того, в последнее время были проведены некоторые основные теоретические исследования, посвященные рассмотрению запутанности на основе частиц так же серьезно и количественно, как и пространственной запутанности.
@tparker Я не утверждаю, что всегда есть естественный способ факторизовать данное пространство состояний; как вы заметили, такое утверждение является ложным. Мое единственное утверждение условное: если рефакторизацию можно провести естественным образом, то выводы, сделанные из запутанности, соответственно ослабевают. Тем не менее, если вам дана не просто «квантовая система», а вместо этого вам дана «двудольная квантовая система» (что является типичной обстановкой, если обсуждение запутанности находится на столе), то естественная факторизация действительно подразумевается. по «двустороннему» квалификатору.
Согласованный. Я бы поспорил с вашим выделенным жирным шрифтом одним предложением TLDR «Да, но это довольно бесполезное наблюдение» как с точным изложением вашего полного ответа, но я полностью согласен с полной версией.

Запутанность *не* присуща состоянию, а зависит от разделения на подсистемы? (Сасскинд К.М.)

Джондекер

Биофизик

Джондекер

Биофизик

Джондекер

Биофизик

туалет

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Ответы (2)

тпаркер

туалет

Биофизик

Биофизик

тпаркер

тпаркер

туалет

тпаркер

тпаркер

Джондекер

Эмилио Писанти

тпаркер

Эмилио Писанти

Джондекер

Даниэль Санк

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Джондекер

Эмилио Писанти

тпаркер

тпаркер

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Эмилио Писанти

тпаркер

Даниэль Санк

Запутанность не присуща состоянию, а зависит от разделения на подсистемы? (Сасскинд К.М.)