Бесконечные законы сохранения, применяющие теорему Нётер к локальной U(1)U(1)U(1)-симметрии КЭД

Лагранжиан КЭД равен

$$\begin{equation} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}\big(i\not{D}-m\big)\psi \end{equation}$$

где$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$и$\not{D}=\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu)$. Здесь$A_\mu$– калибровочное поле ЭМ, а$q$есть заряд электрона. Этот лагранжиан имеет$U(1)$калибровочная симметрия

$$\begin{equation} \begin{cases} \psi\rightarrow\psi'=e^{iq\alpha(x)}\psi \\ \bar{\psi}\rightarrow\bar{\psi}'=e^{-iq\alpha(x)}\bar{\psi} \\ A_\mu\rightarrow A_\mu'=A_\mu-\partial_\mu\alpha(x) \end{cases} \end{equation}$$

где$\alpha(x)$— гладкая произвольная функция пространственно-временной координаты$x^\mu$. Теперь применим определение течения Нётер.

$$\begin{equation} J^\mu=\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta (\partial_\mu\phi_a)}\delta \phi_a \end{equation}$$ (где я не добавляю дополнительный член из-за изменения лагранжиана в полной производной, поскольку$\delta\mathcal{L}=0$). Итак, мы получаем

$$\begin{equation} J^\mu=-q\alpha(x)\bar{\psi}\gamma^\mu\psi+F^{\mu\nu}\partial_\nu\alpha(x) \end{equation}$$

Когда$\alpha(x)=constant$мы восстанавливаем обычный электрический заряд. Теперь я хочу ответить на два вопроса, касающихся полного текущего$J^\mu$для произвольного$\alpha(x)$.

Первый вопрос. Во многих учебниках говорится, что глобальные симметрии дают законы сохранения, которые выполняются на оболочке, в то время как локальные симметрии дают законы сохранения, которые выполняются вне оболочки. Для глобальной части ясно, что это верно: текущий только (настройка$\alpha=1$)

$$\begin{equation} J^\mu|_{\alpha=1}=-q\bar{\psi}\gamma^\mu \psi \end{equation}$$

Поскольку уравнение движения для калибровочных полей имеет вид

$$\begin{equation} \partial_\nu F^{\mu\nu} =-q\bar{\psi}\gamma^\mu \psi \end{equation}$$

мы сразу получаем это$\partial_\mu J^\mu=\partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$. Таким образом, текущий get сохраняется, когда EoM удовлетворены. Теперь вопрос: как мы можем проверить, что либо$J^\mu$тождественно нулевой вне оболочки или что$\partial_\mu J^\mu$ноль вне оболочки?

Второй вопрос: если мы продолжим работать с полным током, мы можем использовать правило Лейбница, чтобы получить

$$\begin{equation} J^\mu=-q\alpha(x)\bar{\psi}\gamma^\mu\psi+\partial_\nu\big[F^{\mu\nu}\alpha(x)\big]-\partial_\nu F^{\mu \nu}\alpha(x) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\alpha(x)\Big[-q\bar{\psi}\gamma^\mu\psi-\partial_\nu F^{\mu \nu}\Big]+\partial_\nu\big[F^{\mu\nu}\alpha(x)\big] \end{equation}$$

Теперь, если мы применим EoM, первый член исчезнет. У нас осталась полная производная. Если мы найдем общий заряд в данном объеме$V$мы получаем

$$\begin{equation} Q=\int_V J^0 d^3x = \int_V \partial_\nu\big[F^{0 \nu}\alpha(x)\big] d^3x= \int_S \vec{E}\cdot \hat{n} \ \alpha(x) dS \end{equation}$$

Теперь, если выбранный нами объем — это вся Вселенная и если электрическое поле и калибровочное условие$\alpha(x)$красиво распадаться до бесконечности (см. мой другой вопрос, где я спрашиваю, почему$\alpha(x)$должны распадаться на бесконечности [1]), то общий заряд во Вселенной равен нулю. Однако это не означает, что эта симметрия не реальна или бесполезна. Я мог бы также выбрать любой другой объем и получить совершенно функциональный закон сохранения для новой величины, зарядом которой является электрическое поле на границе желаемого объема, взвешенное произвольной функцией$\alpha(x)$. Итак, вопрос: почему эта сохраняющаяся величина не является физической?

[1] Почему мы требуем, чтобы условие калибровки$\alpha(x)$падает на бесконечности?