Бесконечно много сохраняющихся токов в любой КТП?

Question

Бесконечно много сохраняющихся токов в любой КТП?

Валентина

Итак, у меня есть следующее любопытство: рассмотрим, например, в КЭД количество

{Дж}^{мю} \equiv \partial_{ν} (λ (Икс) Ф^{мю ν})

$j^\mu\equiv\partial_\nu (\lambda(x) F^{\mu \nu})$

где $\lambda(x)$ — произвольная скалярная функция пространства-времени, построенная из элементов теории, например

λ (Икс) "=" А_{мю} А^{мю} Ф_{р о} Ф^{р о}

$\lambda(x)=A_\mu A^\mu F_{\rho \sigma} F^{\rho \sigma}$

или что-нибудь еще, о чем вы можете думать. Затем, поскольку $F^{\mu \nu}$ антисимметричный, $\partial_\mu j^\mu=0$ одинаково.

На самом деле это можно обобщить на любую теорию; построить из различных элементов антисимметричный двухранговый тензор и скаляр, перемножить их вместе, и для любого выбора, который вы сделаете, будет соответствующий сохраняющийся ток. Если эти токи не тривиальны (например, дают только исчезающие заряды), то кажется, что все теории дают бесконечный ландшафт сохраняющихся токов. Это так? Я что-то пропустил? Как это обосновать логически?

ВАХ

Может быть, это очевидно, но почему

\partial_{μ} j^{μ} = (\partial_{μ} λ) (\partial_{ν} F^{μ ν}) = 0

$\partial_\mu j^\mu=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu}) = 0$ обязательно?

Валентина

Это

\partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν}) = - \partial_{ν} \partial_{μ} (λ F^{ν μ}) = - \partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν})

$\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})=-\partial_\nu \partial_\mu (\lambda F^{\nu \mu})=-\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})$ где в последнем равенстве я просто переименовал фиктивные индексы.

ВАХ

Я согласен, что

(\partial_{μ} \partial_{ν} λ) F^{μ ν} = 0

$(\partial_\mu\partial_\nu \lambda)F^{\mu\nu}=0$ и

λ \partial_{μ} \partial_{ν} F^{μ ν} = 0

$\lambda \partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ . Итак, тогда

\partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν}) = (\partial_{μ} λ) (\partial_{ν} F^{μ ν})

$\partial_\mu\partial_\nu(\lambda F^{\mu\nu})=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu})$ . Мне непонятно, что последняя величина всегда тождественно равна 0.

Ответы (2)

Бесконечно много сохраняющихся токов в любой КТП?

Может быть, это очевидно, но почему $\partial_\mu j^\mu=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu}) = 0$ обязательно?
Это $\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})=-\partial_\nu \partial_\mu (\lambda F^{\nu \mu})=-\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})$ где в последнем равенстве я просто переименовал фиктивные индексы.
Я согласен, что $(\partial_\mu\partial_\nu \lambda)F^{\mu\nu}=0$ и $\lambda \partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ . Итак, тогда $\partial_\mu\partial_\nu(\lambda F^{\mu\nu})=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu})$ . Мне непонятно, что последняя величина всегда тождественно равна 0.

Qмеханик · Answer 1

ОП написал (v2):

Если эти токи не тривиальны [...]

На самом деле большинство $^1$ токов ОП тривиальны $^2$ . Соответствующие сборы

Вопрос "=" \int_{В} д^{3} Икс {Дж}^{0} "=" \int_{В} д^{3} Икс \sum_{я "=" 1}^{3} д_{я} (λ Ф^{я 0}) "=" \int_{\partial В} д^{2} Икс (\dots) "=" 0

$Q ~:=~ \int_V d^3x~ j^0~=~\int_V d^3x~\sum_{i=1}^3d_i(\lambda F^{i0})~=~\int_{\partial V} d^2x~(\ldots) ~=~0$ исчезают, если компоненты

λ F^{i 0}

$\lambda F^{i0}$ упасть достаточно быстро

o (r^{- 2})

$o(r^{-2})$ в пространственной бесконечности

\partial V

$\partial V$ .

--

$^1$ Постоянный случай $\lambda=1$ соответствует сохраняющемуся электрическому току, ср. Уравнения Максвелла. непостоянный срок в $\lambda$ обычно падает слишком быстро на пространственной бесконечности $\partial V$ получить нетривиальный закон сохранения.

$^2$ Тем не менее в общей калибровочной теории второе тождество Нётер действительно приводит к существованию суперпотенциала с бесконечной иерархией сохраняющихся поверхностных зарядов на пространственной границе, ср. например, этот пост Phys.SE.

Таким образом, похоже, что любой ток, созданный с использованием производной, имеет тривиальные заряды. В любом случае, я думаю, это проясняет ситуацию, спасибо.
Однако насколько большим или маленьким является «большинство»? Является ли это «большинство», как во «всех, кроме конечного числа», или «большинство», как в каком-то математическом смысле, как «меры ноль», что все еще может оставить неисчислимое бесконечное количество возможных таких нетривиальных величин?

Дж. Г. · Answer 2

Если мы имеем $\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ на оболочке, как это происходит, например, в ЭМ без источника тока, $F^{\mu\nu}X_\nu$ сохраняется при условии $\partial_\mu X_\nu$ симметричен, как это происходит, например, с $X_\nu=\partial_\nu\lambda$ . Не все эти сохраняющиеся токи тривиальны. См. разд. 2.1.2 моей диссертации , которая обобщает это на искривленное пространство-время.

Бесконечно много сохраняющихся токов в любой КТП?

Валентина

ВАХ

Валентина

ВАХ

Ответы (2)

Qмеханик

Валентина

The_Sympathizer

Qмеханик

Дж. Г.

Заряд не сохраняется в скалярной КЭД? [дубликат]

Бесконечные законы сохранения, применяющие теорему Нётер к локальной U(1)U(1)U(1)-симметрии КЭД

Классический ЭМ: четкая связь между калибровочной симметрией и сохранением заряда

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

Эквивалентна ли эта теория КЭД?

Первая теорема Нётер и классическое доказательство сохранения электрического заряда

В 3D N=2N=2{\cal N}=2 SUSY линейный мультиплет содержит глобальный ток. Как это связано с калибровочным полем?

Какая симметрия отвечает за сохранение/сохранение электрических зарядов?

Сохраняющиеся токи в квантовой электродинамике

Закон сохранения цветового тока в теориях Янга-Миллса