Как получить коммутационные соотношения в неравные моменты времени (для края дробного квантового холловского состояния)?

Край дробного квантового холловского состояния является примером киральной латтинджеровской жидкости. Возьмем для простоты край состояния Лафлина. Гамильтониан это:

$$H = \frac{2\pi}{\nu}\frac{v_c}{2} \int_{\textrm{edge}} dx \rho(x)^2$$

Здесь$\nu$- доля заполнения, которая является постоянной,$v_c$скорость краевой моды и$\rho$— оператор плотности заряда. Вы можете думать об этом гамильтониане как о взаимодействии дельта-функции$V(x,x') = \delta(x-x')$.

Вместе с этим гамильтонианом имеется также коммутационное соотношение поля$\rho$:

$$[\rho(x),\rho(x')] = i\frac{\nu}{2\pi} \partial_x \delta(x-x')$$

Я сам не выполнял это упражнение, но полагаю, что это получается путем перехода в импульсное пространство, получения канонических импульсов с помощью уравнения движения Гамильтона и выполнения канонического квантования. Эти равновременные коммутационные соотношения вместе с уравнениями движения Гейзенберга приводят к:

$$\partial_t \rho(x,t) = i[H,\rho(x,t)] = v_c \partial_x\rho(x,t)$$

Это показывает, что ребро кирально, так как$(\partial_t - v_c\partial_x)\rho(x,t) = 0$и, следовательно, коррелятор с участием$\rho(x,t)$(или любой другой коррелятор) является функцией$t+x/v_c$в одиночку (отсюда и названия «хиральные» и «левосторонние»).

Существуют также возбуждения частиц (например, электрона), которые генерируются через вершинный оператор$\Psi(x,t)$(это можно объяснить бозонизацией и/или конформной теорией поля, но я не буду вдаваться в подробности). В любом случае эти полевые операторы имеют следующие равновременные коммутационные отношения с текущим оператором:

$$[\rho(x),\Psi(x')] = Q \Psi(x')\delta(x-x')$$

Здесь$Q$это плата за оператора$\Psi$относительно оператора плотности заряда$\rho$. Этот заряд, конечно же, является электрическим зарядом.

Теперь мой вопрос: как вы обобщаете коммутационные соотношения на неравное время? Что такое:

$$[\rho(x,t),\rho(x',t')] = \ldots$$ $$[\rho(x,t),\Psi(x',t')] = \ldots$$

?