Два значения ускорения в гравитационных полях?

Мы не можем говорить о том, что объект «не ускоряется». Мы можем говорить только об объекте, который «не ускоряется относительно конкретной системы отсчета, в которой мы измеряем положение и время ». Часто избегают таких длинных предложений, чтобы облегчить себе жизнь. Однако такие попытки облегчить жизнь могут привести к недоразумениям.

Пример: Вы сидите в спортивной машине и нажимаете на педаль газа. Спорткар разгоняется по отношению к системе отсчета дороги. Также вы ускоряетесь относительно системы отсчета дороги. Однако вы не ускоряетесь относительно места водителя. Именно поэтому вы остаетесь на месте водителя (вы не ускоряетесь относительно места водителя).

Таким образом, чтобы правильно описать пример с яблоком, мы должны сначала выбрать систему отсчета. Описание, которое мы сделаем, будет зависеть от системы отсчета и используемой нами физической теории.

Давайте воспользуемся точкой зрения общей теории относительности, так как это хорошая теория для понимания гравитации. Здесь гравитация считается не силой, а частью окружающей геометрии.

Теперь выберем систему отсчета яблока в свободном падении. Это падающее яблоко не ощущает силы и не разгоняет WRT до выбранной системы отсчета. Падающее яблоко будет смотреть на своих братьев и сестер, которые все еще прикреплены к стеблю. Яблоко скажет: «Моих братьев и сестер толкает стебель вверх, и благодаря этой силе они ускоряются вверх по отношению ко мне». В ОТО свободнопадающая система отсчета является инерциальной системой. Таким образом, это наблюдение также согласуется с утверждением, что «сила приводит к ускорению» применимо только к инерциальным системам.

Теперь давайте выберем систему отсчета яблок, все еще прикрепленных к дереву. Эти яблоки чувствуют восходящую тянущую силу от стебля. Они удивляются, что не ускоряются относительно выбранной системы отсчета. Однако они понимают, что закон «сила ведет к ускорению» действует только в инерциальных системах. Поэтому они не видят несоответствия, так как не находятся в инерциальной системе.

Давайте теперь воспользуемся точкой зрения специальной теории относительности. Здесь другое понятие инерциальной системы, а также гравитации. Гравитация теперь является силой, и свободно падающая система отсчета больше не является инерциальной системой. Объяснение по-прежнему согласуется внутри теории.

Сначала выберем систему отсчета яблока в свободном падении. На яблоко действует сила тяжести. Однако яблоко не ускоряется. Это отлично. В СТО свободно падающая система не является инерциальной системой, поэтому мы не ожидаем, что «нет ускорения = нет силы». Яблоко не чувствует силы. Это тоже хорошо, поскольку сила гравитации компенсируется силой инерции, возникающей из-за того, что наблюдения проводятся в неинерциальной системе.

Теперь давайте выберем систему отсчета яблок, все еще прикрепленных к дереву. Это тоже не инерциальная система (вращение земли вокруг своей оси, вращение земли вокруг солнца). Однако для наших целей этими эффектами можно пренебречь, так как они малы. У нас здесь есть инерциальная система, более или менее. Яблоки, сидящие на дереве, будут спорить: на нас действует сила тяжести, и это компенсируется силами стебля. Таким образом, на нас не действует чистая сила. Однако мы чувствуем напряжение между гравитацией и стержнем в шее, но результирующая сила равна нулю. Поскольку мы находимся в инерциальной системе, применима концепция, согласно которой отсутствие результирующей силы означает отсутствие ускорения относительно этой системы. Это отлично. Падающее яблоко притягивается силой тяжести и ускоряется относительно этой инерциальной системы. Это тоже хорошо.

Сбивает с толку вот что: это зависит 1) от выбранной системы отсчета и 2) от выбранной теории, как мы должны рассуждать. Аргументы всегда выглядят по-разному, как и концепции. Например, в общей теории относительности гравитация не считается силой. Тем не менее, в выбранных рамках мы можем последовательно рассуждать.

Если мы знакомы с концепцией геодезической в ​​пространстве-времени, мы можем даже распространить рассуждения на этот параметр. Свободно падающее яблоко движется по геодезической и не ощущает силы. Яблоки на стебле тянутся стеблем от геодезической и чувствуют силу.

Редактировать: Поскольку вы отредактировали вопрос, позвольте мне также отредактировать ответ. :-)

Акселерометр, прикрепленный к яблоку на дереве, показывает показание 1g. Акселерометр, прикрепленный к падающему яблоку, показывает 0 г (без учета потока воздуха, при условии вакуума, без учета неоднородности поля). Забавный эксперимент: прыгните с парашютом (вы сами это испытаете).

Оставаясь в ОТО и используя геодезические: мы можем построить общую систему отсчета, говоря о геодезических. Это локально инерционно в смысле ОТО. Свободно падающее яблоко не имеет ускорения относительно этой геодезической системы отсчета (и остается на геодезической), оно не чувствует никакой силы. Стеблевое яблоко ускоряется относительно этой геодезической системы отсчета (и поэтому отклоняется от геодезической в ​​своем движении), оно чувствует тягу стебля (а в этой модели нет гравитации, так как это предполагается в геометрии).

Лучший способ приблизиться к ускорению в специальной и общей теории относительности — использовать четырехкратное ускорение . Это четырехвектор, поэтому его норма является скалярным инвариантом, который мы называем собственным ускорением . Физическое значение правильного ускорения состоит в том, что это ускорение, которое ощущает наблюдатель в своей системе отсчета.

Так, например, когда я сижу за своим столом и печатаю это, я чувствую ускорение$1g$так что я знаю, что мое правильное ускорение должно быть$1g$. В моем случае это ускорение является результатом воздействия на землю подо мной направленной вверх силы$mg$на меня. То же самое относится и к вашему яблоку, хотя в этом случае правильное ускорение$1g$происходит за счет восходящей силы$mg$наносится веткой, на которой висит яблоко (которое, я думаю, в конечном итоге исходит из земли, в которой укоренено дерево).

Четырехкратное ускорение определяется уравнением:

где$x^\alpha$это позиция и$U^\alpha$это четыре скорости. Посмотрите на два члена в этом уравнении. Первый член выглядит как простая двойная производная положения по времени (хотя это собственное время, а не координатное время). Второй член возникает из-за кривизны. Объекты$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$являются символами Кристоффеля и описывают кривизну (в моих координатах).

Рассмотрим яблоко, которое вы использовали в качестве примера. В опорной раме яблока он неподвижен, поэтому$d^2x^\alpha/d\tau^2 = 0$. Это означает, что четырехкратное ускорение яблока задается только членом кривизны:

Таким образом, причина, по которой яблоко имеет ненулевое четырехкратное ускорение и, следовательно, ненулевое собственное ускорение, связана с искривлением пространства-времени. В плоском пространстве-времени коэффициенты Кристоффеля$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$все равны нулю, и поэтому четырехкратное ускорение должно быть равно нулю. Вот почему яблоко было бы невесомым вдали от любых масс, где пространство-время было бы плоским.

А наше уравнение (1) для четырехкратного ускорения точно объясняет геодезическое движение и то, что значит быть невесомым. Если вы невесомы, ваше собственное ускорение должно быть равно нулю, и, следовательно, ваше четырехкратное ускорение должно быть равно нулю. Если взять уравнение (1) и положить$A^\alpha=0$то мы получаем:

и это геодезическое уравнение, т.е. траектория$\mathbf{x}(\tau)$то, что решает это уравнение, описывает свободное движение. Когда стебель яблока ломается и оно начинает падать, его движение описывается уравнением геодезических.

Если вам интересно, я более подробно расскажу об этом в своем ответе на Как «искривленное пространство» объясняет гравитационное притяжение? Есть также соответствующее обсуждение в разделе « Если гравитация не является силой, то как силы уравновешиваются в реальном мире?»