Дельта-функция Дирака как начальное состояние квантово-свободной частицы

Именно так вы бы и поступили. Обратите внимание, однако, что ничто не гарантирует, что решение будет разумным или что интеграл вообще существует. На самом деле, поскольку уравнение Шрёдингера в значительной степени обратимо во времени, вы гарантированно не окажетесь в физическом состоянии.

Следует отметить, что частота$\omega=\omega(k)$является функцией волнового вектора$k$через дисперсионное соотношение, которое, по сути, кодирует уравнение Шредингера, как$\omega=E/\hbar=\hbar k^2/2m$. Это означает, что государство

$$\begin{align} \Psi(x,t) & = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m} t)} dk \\ & = \frac{1}{2 \pi} e^{i\frac{m}{2\hbar t}x^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\frac{\hbar t}{2m}(k-\frac{m}{\hbar t}x)^2} dk . \end{align}$$ Этот интеграл, как оказалось, сходится. Так долго как$t\neq0$, это интеграл Френеля, и для его сходимости регуляризация не требуется. (С другой стороны, его свойства сходимости отличаются от регуляризованного случая: он не является абсолютно сходящимся, и равномерность сходимости относительно$x$а также$t$отличается.) Как только вы интегрируете его, вы получите $$\Psi(x,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}}e^{-i\mathrm{sgn}(t)\pi/4}\exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right].$$ Обратите внимание, в частности, что это то, что вы получите, если подключите$a=0$в исходную волновую функцию Руслана. Это именно та процедура регуляризации, которая действительно может быть полезна, но не является строго необходимой.

Это состояние, конечно, не физическое, т.$|\Psi(x,t)|^2\equiv\text{const}$, но это ожидаемо. Что удивительно, так это то, что амплитуда отлична от нуля и постоянна для всего пространства, каким бы малым оно ни было.$t$есть, но опять же этого следовало ожидать, так как$\delta(x)$содержит компонент при каждом импульсе, каким бы высоким он ни был. Эта функция выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что высокочастотные компоненты все дальше удаляются от начала координат. Это разумно, поскольку эти более высокие импульсы движутся быстрее.

Теперь реальный вопрос заключается в том, действительно ли эта функция является решением уравнения Шредингера. Оно было получено стандартной процедурой в надежде, что оно сработает, и действительно, если какое-либо решение действительно сработает, мы ожидаем, что оно будет таким. Однако это оставляет открытым вопрос о том,

$$\Psi(x,t)=\begin{cases}\delta(x) & t=0\\ \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}}e^{-i\mathrm{sgn}(t)\pi/4}\exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right]&t\neq 0\end{cases}$$ действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)$$ в любом полезном (предположительно распределительном) смысле. Это остается в качестве упражнения для читателя. ( Актуальное упражнение для читателя.)

Рассмотрим эволюцию гауссового волнового пакета . Его волновая функция в позиционном представлении выглядит так:

$$\Psi(\vec r,t)=\left(\frac a{a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{\vec r\cdot \vec r}{2(a+i\hbar t/m)}\right).\tag1$$

Соответствующая относительная плотность вероятности равна

$$P(r)=|\Psi|^2=\left(\frac a{\sqrt{a^2+(\hbar t/m)^2}}\right)^3\exp\left(-\frac{a\vec r\cdot\vec r}{a^2+(\hbar t/m)^2}\right),\tag2$$

или, пренебрегая общим коэффициентом, зависящим от времени и независимым от положения,

$$P'(r)=\exp\left(-\frac{a\vec r\cdot\vec r}{a^2+(\hbar t/m)^2}\right).\tag3$$

Вы получаете дельта-подобную волновую функцию Дирака из исходного гауссова, когда берете предел$a\to0$. Но для любого конечного$t$предел$(3)$является

$$\lim_{a\to0}P'(r)=1,$$

т.е. в любое конечное время с момента начала эволюции ваше положение будет совершенно неопределенным. Итак, теперь ничто на самом деле больше не определено — будь то импульс или положение, поэтому попытки найти эволюцию такого состояния в значительной степени бесполезны: вы не можете ничего предсказать, исходя из вашего конечного состояния.

Я хочу спросить, разумно ли использовать функцию Дирака-Дельта в качестве начального состояния ($\psi(x,0)$) для волновой функции свободной частицы и интерпретировать ее так, что я говорю, что частица находится точно в$x=0$во время$t=0$?

Нет, потому что дельта-функция не согласуется с интерпретацией функции Борна.$\psi$. Развивающаяся функция, которая является дельта-функцией в$x$вовремя$t_0$не даст вам регулярную волновую функцию, но даст вам пропагатор зависящего от времени уравнения Шредингера. Это можно использовать для выражения регулярной волновой функции во времени$t$как интеграл волновой функции в некоторый предыдущий момент времени$t_0$. См. раздел «Свободный распространитель частиц» по адресу http://physwiki.ucdavis.edu/Quantum_Mechanics/1-D_Quantum_Mechanics/Time-Dependent_Solutions%3a_Propagators_and_Representations .