Где живет кет-вектор в оснащенном гильбертовом пространстве?

Бумага правильная. Заметим, что в оснащенном гильбертовом пространстве$(\mathcal S, \mathcal H, \mathcal S^*)$, у нас есть это$\mathcal S \subset \mathcal H \subset \mathcal S^*$. То есть,$\mathcal S$(множество так называемых тестовых функций ) является подмножеством$\mathcal H$. Единственная причина, по которой в первую очередь требуется построение оснащенного гильбертова пространства, заключается в том, что кет-векторы, соответствующие определенным состояниям непрерывных наблюдаемых, таких как$X$и$P$на самом деле не являются элементами$\mathcal H$, что означает, что они определенно не являются элементами подмножества$\mathcal H$.

---

Я буду более точным, чтобы ответить на ваш дополнительный вопрос. Позволять$\mathcal H$быть$L^2(\mathbb R)$, которое (примерно) представляет собой пространство функций, интегрируемых с квадратом$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb C$. Кроме того, пусть$\mathcal S$— пространство быстроубывающих гладких функций, определяемое следующим образом:

$$\mathcal S := \left\{f \in C^\infty(\mathbb R) : \forall m,n\in\mathbb N, \sup_x\left| x^n \cdot \frac{d^mf}{dx^m }\right|<\infty \right\}$$

По сути,$\mathcal S$— это пространство всех функций, к которым вы можете применять операторы положения и импульса столько раз, сколько хотите, с ограниченным результатом. Нетрудно показать, что$\mathcal S\subset L^2(\mathbb R)$. Менее ясно, что$\mathcal S$плотный в _$L^2(\mathbb R)$, но это тоже бывает правдой.

Линейный функционал на$\mathcal S$это карта$\varphi:\mathcal S \rightarrow \mathbb C$такой, что для всех$f,g\in\mathcal S$и$\lambda\in\mathbb C$,

• $\varphi(f + g) = \varphi(f)+\varphi(g)$
• $\varphi(\lambda f) = \lambda \varphi(f)$

Антилинейный функционал тот же, за исключением$\phi(\lambda f)=\bar{\lambda} \phi(f)$где черта обозначает комплексное сопряжение.

Пространство всех линейных функционалов (которые мы будем отождествлять с лифчиками) на$\mathcal S$называется двойственным пространством $S'$, а множество всех антилинейных функционалов (которые мы будем называть кетами) на$\mathcal S$называется антидуальным пространством $S^*$.

Заметим, что любой элемент$f\in\mathcal H$можно отождествить с линейным функционалом$\varphi_f \equiv \langle f, \bullet \rangle$, который действует на некоторые$g\in\mathcal S$следующее:

$$\varphi_f(g) = \langle f,g\rangle$$ Кроме того, его можно отождествить с антилинейным функционалом$\phi_f \equiv \langle \bullet , f \rangle$также: $$\phi_f(g) = \langle g,f\rangle$$ Это означает, по крайней мере, что$\mathcal H \subseteq S'$и$\mathcal H \subseteq S^*$. Тем не менее, пространства$S'$и$S^*$намного больше, чем$\mathcal H$.

Собственные функции импульса

Обратите внимание, что функция$e^{ikx}$, который не интегрируется с квадратом и, следовательно, не является элементом$\mathcal H$, можно отождествить с элементом двойного пробела$\varphi_k$и антидуальный элемент пространства$\phi_k$где для всех$g\in \mathcal S$,

$$\varphi_k(g) = \int_{-\infty}^\infty \overline{e^{ikx}} g(x) dx = \int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}g(x) dx$$ и $$\phi_k(g) = \int_{-\infty}^\infty \overline{g(x)} e^{ikx} dx$$

Вы больше привыкли к нотации bra-ket, в которой$\varphi_k \equiv \langle k|$и$\phi_k \equiv |k\rangle$.

Собственные функции положения

$S'$и$S^*$также содержат элементы, которые вообще не соответствуют функциям. Дельта-распределение Дирака$\delta_a$обманчиво прост - он просто оценивает функцию в$a$. Определить линейный функционал$\delta_a$и антилинейный функционал$\delta^*_a$просто как

$$\delta_a (g) = g(a)$$ $$\delta^*_a (g) = \overline{g(a)}$$

Вы снова более знакомы с обозначениями$\delta_x \equiv \langle x|$и$\delta^*_x \equiv |x\rangle$.

---

Как выглядят выражения$\langle x|p\rangle, \langle x|y\rangle, \langle x|f\rangle$определенный? Есть ли что-то вроде скалярного произведения или нормы, определенной на$S', S^*$?

Один из способов сделать это заключается в следующем. Обратите внимание, что данный$f,g\in\mathcal H$и связанные с ними линейные (соответственно антилинейные) функционалы$\varphi_g$(отв.$\phi_f$), у нас есть это

$$\varphi_g(f) = \phi_f(g) = \langle g,f\rangle$$

Потому что$\varphi_g \rightarrow \langle g|$и$\phi_f \rightarrow |f\rangle$, проводим формальную идентификацию

$$\varphi_f(g) = \phi_f(g) \equiv \langle g | f \rangle$$

Так$\langle g | f\rangle$можно эквивалентно рассматривать как (i) отображение$g$к его линейному функционалу и питая его$f$или (ii) отображение$f$к его антилинейному функционалу и подпитки его$g$.

Распространяя наше рассмотрение на$\delta_x \rightarrow \langle x|$, мы можем сказать, что$\langle x| f\rangle$соответствует кормлению государства$f$к функциональным$\delta_x$- то есть оценивая его в точку$x$:

$$\langle x | f\rangle = \delta_x(f) = f(x)$$

Обратите внимание, что здесь нет эквивалентности «или-или», поскольку$\delta_x$на самом деле не соответствует состоянию, нет строгого смысла представлять обратное, в котором мы конвертируем$f$к функционалу и передать ему (несуществующее) состояние, соответствующее$\delta_x$. Конечно, если мы готовы признать, что «состояние», которое соответствует$\delta_a$это "дельта-функция"$\delta(x-a)$, то вы можете думать об этом таким образом.

Далее обратите внимание, что

$$\langle g|f\rangle =\int_{-\infty}^\infty \overline{g(x)} f(x)\ dx = \int_{-\infty}^\infty \langle g|x\rangle \langle x|f\rangle$$

поэтому мы проводим формальное отождествление с тождественным оператором:

$$\int_{-\infty}^\infty |x\rangle\langle x| \ dx \rightarrow \mathbb{I}$$

Обратите внимание, что выражение слева, взятое буквально (например, как интеграл Лебега), не имеет смысла само по себе. Однако, следуя разработанным нами формальным символическим правилам, он действует как тождественный оператор на пространстве кетов (и на пространстве бюстгальтеров).

В таком случае мы должны иметь это

$$\mathbb I \circ \mathbb I = \mathbb I$$ $$\int dx\ |x\rangle\langle x| \int dy\ |y\rangle\langle y| = \int dx \int dy |x\rangle \langle y| \cdot \langle x|y\rangle = \int dx |x\rangle\langle x|$$

что мотивирует (опять же формальное) определение$\langle x|y\rangle \equiv \delta(x-y)$.

Наконец, мы можем произвести те же манипуляции с «собственными функциями» оператора импульса. Обнаруживается, что (как указано выше)

$$\langle k | f\rangle = \int_{-\infty}^\infty e^{-ikx} f(x) dx = \hat f(k)$$ Так что пока$\langle x|f\rangle = f(x)$, у нас есть$\langle k|f\rangle = \hat f(k)$где$\hat f$является преобразованием Фурье$f$.

Вставка оператора идентификации,

$$\hat f(k) = \langle k|f\rangle = \int \langle k|x\rangle \langle x|f\rangle dx = \int \langle k|x\rangle f(x)\ dx$$

Сравнивая это с предыдущим, мы мотивированы определить

$$\langle k|x\rangle = e^{-ikx}$$ $$\langle x|k\rangle = e^{ikx}$$