Почему существует только 3 аддитивных интеграла движения?

Хорошо, по вашему запросу…. Я чувствую, что вы хотите узнать все об интегрируемости отсюда и объединить проблемы, которые их смущают, вместо того, чтобы разделять их…. Как насчет того, чтобы дополнить L&L книгой Арнольда ?

1. Семь аддитивных интегралов L&L представляют собой аддитивные законы сохранения системы с изолированным центром масс, и стандартные теоремы сохранения центра масс диктуют, что они фиксированы в отсутствие внешних сил и крутящих моментов и, таким образом, работают на входе / выходе благодаря действию Ньютона. -законы реакции: вы суммируете все энергии, или импульсы, или угловые моменты, и их суммы, поскольку система «замкнута», сохраняются (прямо как в черной дыре!). Но... они не обязаны быть независимыми, как, например, для одной свободной частицы в ящике$E\propto \vec{P}^2$, т. е. & не является абсолютной нижней границей числа сохраняющихся интегралов. (а для одной свободной частицы J , равное 0/бессмысленному, уменьшает независимо сохраняющиеся интегралы до 3.) Чтобы сравнить с 2., я буду использовать гораздо более простую изолированную систему из 2 частиц в 2d, поэтому группа вращения является одномерной. , а сохраняющихся аддитивных интегралов вместо 7 теперь всего 4: E ,$\vec{P}$и Дж .

2. Это широкое абстрактное утверждение для верхней границы числа независимых интегралов движения в фазовом пространстве, не обязательно аддитивных. В 2- мерном фазовом пространстве каждый независимый сохраняющийся интеграл задает независимую гиперповерхность, на которой лежат траектории, и указывает, что точка фазового пространства должна проходить на их пересечении. Самый ограничительный случай - это 2 s - 1 гиперповерхность, общим пересечением которых является линия, траектория точки (многомерного) фазового пространства; еще одно ограничение, и линия пересекается в точку, поэтому точка не перемещается во времени! Системы с таким максимальным числом ограничений называются максимально суперинтегрируемыми, как и проблема Кеплера ., или большинство задач по физике для первокурсников. Помимо излишеств, все эти проблемы гораздо более симметрично описываются эквивалентной картиной механики Намбу : классическая часть выражает некоторые из них на языке ПБ. Для инвариантов в инволюции см. это .

   • Итак, теперь рассмотрим две частицы, соединенные пружиной, в 2d , начиная с предела k = 0, то есть свободные частицы.

     $$L=\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+ \dot{y}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2= \frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2.$$ для столиц, являющихся центром масс координат,$r=\sqrt{x^2+y^2}$и θ угол между относительными координатами. Теперь уравнения движения для θ уже интегрированы к постоянной$r^2\dot{\theta}\equiv J$, поэтому мы можем отказаться от его кинетического члена в пользу члена$mJ^2/(2r^2)$переместились в потенциальную часть лагранжиана.

   • Давайте подсчитаем общие сохраняющиеся величины, сначала для k = 0, свободный случай: в декартовых координатах у нас есть 2 импульса для 2 частиц, поэтому всего 4; плюс J и каждая из двух энергий E и ε для прописных и строчных переменных ? Не совсем так, поскольку E не зависит от см-импульсов, а ε — от внутренних. Независимых интегралов оказывается 5. Однако внешними, аддитивными являются E + ε , J , и$\vec{P}$, так что меньше, чем независимых. Включение взаимодействия (пружинного, ненулевого k ) нарушает сохранение двух компонент внутреннего импульса, но$\epsilon_x$,$\epsilon_y$и J все еще сохраняются (2 × 2-1 для x, y , осцилляторы максимально суперинтегрируемы), а независимые интегралы в целом равны 5, что еще раз предупреждает ваш парадокс.

   • Наконец, несколько слов о вашем вопросе по теореме Пуассона. Совершенно схематично и небрежно относясь к факторам, вы можете видеть, что при заданных инвариантах$\epsilon_x, \epsilon_y, J$этого двойного осциллятора,$\{ \epsilon_x, J\} \sim K\equiv p_x p_y +xy$, также легко подтвердить, что он не зависит от времени, согласно тождеству Якоби. Есть ли 4-й инвариант? Этого не может быть: мы видели выше, что максимальная суперинтегрируемость допускает только 3. Но обратите внимание, фиксируя знаки, множители и т. д., что$\epsilon_x \epsilon_y=J^2+K^2$, так что один из четырех нелинейно зависит от трех других. Фу!....

Здесь нет никаких противоречий, и на ваши вопросы можно ответить сразу.

Изолированная система с$s$степень свободы имеет$2s-1$интегралы движения, так как решения для координат$q_i$вовлекать$2s-1$константы (определяются начальными условиями). $2s$можно решить в терминах$t-t_0$куда$t_0$может быть выбран произвольно. Однако не все эти интегралы движения являются аддитивными. Под аддитивным интегралом движения понимается такой, который представляет собой сумму соответствующих интегралов движения изолированных подсистем.

Эти аддитивные интегралы движения, обычно называемые сохраняющимися величинами, возникают из-за некоторой непрерывной симметрии системы и могут быть вычислены с помощью теоремы Нётер. Однако, если я не упустил какую-то тонкость, существует 10 сохраняющихся величин: энергия E (связанная с переносом времени), импульс$\vec P$(связанный с тремя космическими переводами), угловой момент$\vec L$(связанный с тремя вращениями) и вектор$t\vec P-M\vec R_{cm}$(связано с тремя бустами Галилея). Вы можете прочитать больше в третьем разделе этого справочника .